CONCLUSION.

Dans le cas où le phare doit avoir un faible empattement, on pourra adopter l'arc de cercle comme profil de cet empattement.

Dans le cas d'un empattement assez grand, nous recommandons l'ellipse, qui se prête également bien à une construction géométrique très simple et au calcul, tout en donnant un profil très satisfaisant au point de vue esthétique.

Le profil elliptique a été employé en 1836 par Léonce Reynaud, au phare des Héaux de Bréhat, et plus tard à celui du Haut Blanc du Nord, près de l'Ile de Ré. Ce sont d'ailleurs les deux seules applications que nous en connaissons.

Voici dans quels termes Léonce Reynaud a mentionné cette application dans son Traité d'Architecture (1850-58, Tome II, page 440) et dans son Mémoire sur l'éclairage et le balisage des Côtes de France (1864, p. 178) (1). Il s'agissait de déterminer le profil de la partie inférieure de l'ouvrage formant soubassement de 18 m. de hauteur, le diamètre au sommet étant de 8 m. 60 et le diamètre inférieur de 13 m. 70: « Le profil concave de la base ne pouvait être déduit d'aucune loi formelle; mais il devait être tangent à la ligne droite avec laquelle il se raccorde à sa partie supérieure, et présenter un degré de courbure croissant de haut en bas. On a satisfait à ces conditions au moyen d'un arc d'ellipse. La tangente au sommet étant donnée, on a fixé, après quelques essais, la direction de la tangente à l'origine, et l'on en a conclu l'équation de la courbe ».

On voit par ce qui précède que l'auteur s'était préoccupé du calcul de la courbe, mais non de sa construction géométrique. Nous avons eu en vue la solution du même problème lors de la réorganisation de l'éclairage de la Baie de Seine, en 1908, réorganisation qui comportait la construction d'un nouveau phare à Honfleur. Ignorant l'application de Reynaud, nous sommes néanmoins arrivé à la même solution, mais par une méthode qui

(1) Le successeur de Léonce Reynaud, à la Direction des Phares, Allard, a signalé également cet emploi dans son ouvrage Les Phares (1889, p. 112).

permet un calcul et une construction simples, et qui peut être rendue d'application générale non seulement pour le cas des phares, mais encore pour les piles de viaduc.

Nous annexons à la présente note un dessin du profil du phare de Honfleur (fig. 7), sur lequel nous avons indiqué en outre l'arc de cercle qui aurait pu être adopté comme profil du soubassement. On voit ainsi très nettement la supériorité de l'ellipse.

Rouen, le 4 novembre 1922.

N° 19

ÉTUDE SUR LES ONDES STABLES

DANS LES CANAUX ET COURS D'EAU

Par M. L. BONNEAU,

Ingénieur en chef des Ponts et Chaussées.

Nous nous proposons d'étudier les ondes courtes qui se forment dans les canaux ou les cours d'eau à l'occasion de certaines discontinuités de régime et qui conservent leur forme pendant un certain temps, soit en progressant, soit en restant fixes. La longueur de ces ondes n'est généralement pas très supérieure à la profondeur du cours d'eau, exception faite pour l'onde solitaire dont la longueur théorique est infinie mais dont la longueur effective ne dépasse guère deux ou trois fois la profondeur.

Nous avons été conduit à faire cette étude en cherchant l'importance des corrections que doivent subir les deux équations de l'écoulement dans un canal quand la pente superficielle du liquide est assez différente de la pente du fond; les ouvrages classiques contiennent des indications à ce sujet et, à la suite de quelques. approximations, ils donnent l'équation de l'onde solitaire.

Ces approximations consistent à admettre que le rapport entre la flèche de l'onde et la profondeur du cours d'eau est faible de façon que son carré soit négligeable ; cependant les expériences de Bazin ont été faites dans des cas où

1

est voisin de h

et

2

il a toujours trouvé sensiblement le même résultat; nous avons donc pensé qu'il y avait intérêt à éliminer cette hypothèse. On va voir que c'est très facile et que l'on arrive ainsi à l'équation. générale des ondes stables dont l'onde solitaire n'est qu'un cas particulier.

1922-VI

Notre seule hypothèse est que les plans limitant les tranches liquides se déplacent parallèlement à eux-mêmes, ce qui a été vérifié dans les expériences de Scott-Russell et de Bazin; cette hypothèse revient à admettre que la résistance du fond est négligeable et on peut la vérifier facilement par la comparaison des deux termes de correction provenant l'un de l'excès de pente superficielle du liquide, l'autre de la résistance du fond.

Puisque les tranches liquides se déplacent parallèlement à ellesmêmes, elles se contractent quand leur hauteur augmente et se dilatent quand elle diminue, dans ces mouvements les diverses particules décrivent des trajectoires homologiques par rapport au fond.

Sinous prenons l'élément de tranche liquide, placé à la cote z et d'épaisseur dz, et si nous désignons par p la pression à la

Δω

est l'accélération dans le sens de la verticale, c'est la dérivée

totale de u par rapport au temps; nous désignerons toujours par le signe A les dérivées totales.

Mais en raison de l'homologie signalée plus haut

où h est la cote de la surface libre dans la tranche considérée la vitesse ascensionnelle à la surface libre; par suite,

et

par suite la pression totale P sur la tranche liquide qui est l'intégrale de p entre 0 et h a pour expression

Les deux équations du mouvement de la tranche liquide dans le sens du cours d'eau sont donc en désignant par q le produit uh de la vitesse par la hauteur :

La première des équations est celle de la conservation des volumes ou équation de continuité, la deuxième est celle des quantités de mouvement projetées sur l'horizontale.

Si l'onde est stable, la vitesse v de propagation d'un point à la cote h à la surface libre est indépendante de x et det puisqu'elle est la même pour tous les points de l'onde et dans toutes les positions successives de cette onde; d'ailleurs, par sa définition même, la vitesse v est telle que

qui s'intègre immédiatement de x, à x, puisque v est constant,