N° 51

CONCOURS D'ADMISSION

des sous-ingénieurs et conducteurs comme élèves-ingénieurs

A L'ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

Sujets de compositions. Année 1911

ALGEBRE ET ANALYSE

1re Question

1 Comment faut-il choisir les nombres réels a et b pour que l'équation

n'ait qu'une seule racine réelle et que cette racine soit comprise entre 0 et 1o.

2o Quelle relation doit-il exister entre a et b pour que l'équation (1) ait une racine double d'une autre?

3o Cette relation rentre-t-elle dans les conditions obtenues au 1o ? Pouvait-on prévoir qu'elle y rentrerait ou qu'elle n'y rentrerait pas ?

4o Prenant 6 = 6 résoudre l'équation (1) lorsque l'une de ses racines est le double d'une autre.

2o Evaluer avec deux décimales, de préférence par la formule de Poncelet qui donne une limite de l'erreur commise, l'intégrale définie

puis avec une décimale, la valeur moyenne de Vigr dans l'intervalle

considéré.

NOTA. Pour faire ce calcul, on se servira des tables indiquant les lignes trigonométriques naturelles avec 5 ou 6 décimales et des tables. donnant les carrés des nombres: on partagera l'intervalle de 78° à 88o en 10 parties égales; on considérera comme exactes les valeurs de Vigr obtenues avec 3 décimales par défaut ou par excès au moyen des tables des carrés; enfin on prendra 0,01745 comme rapport de la longueur de l'arc de 1o à la longueur du rayon.

ÉPURE DE PERSPECTIVE

Une coupole supposée creuse, opaque et d'épaisseur négligeable est constituée par un cylindre de révolution

à axe vertical de 3m,50 de rayon et de 5,40 de hauteur reposant sur le géométral et surmonté par une demi-sphère de même rayon.

On pratique dans cette coupole des ouvertures en la coupant par quatre plans verticaux dont les traces horizontales forment un carré circonscrit au cercle de 3,00 de rayon ayant un même centre X que la base de la coupole. Chacune de ces ouvertures est prolongée vers l'extérienr par un berceau dont elle constitue la section droite, ces berceaux de 2 mètres de long, étant, comme la coupole, cons

titués par une surface opaque et d'épaisseur négligeable.

Le point de vue, projeté en 0 sur la droite XA à une distance 0X = 15,00 du centre, se trouve à 2,50 au-dessus du géométral.

On demande de faire la perspective de l'ensemble formé par la coupole et les berceaux prolongeant ses ouvertures, de telle sorte que l'échelle du plan de front du point A soit de lem. pour mètre, et que la direction OX soit perpendiculaire au tableau.

On fera coïncider la ligne d'horizon avec le grand axe de la feuille et on placera le point de fuite principal à 10cm. du bord gauche de la feuille. La perspective sera strictement limitée aux parties vues dessinées en noir; les lignes de construction seront tracées en rouge.

COMPOSITION DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCANIQUE

1re Question

Sur un plan incliné de a = 45o un disque pesant glisse à plat avec une vitesse moyenne initiale V = 5,00 par seconde ascendante, et faisant un certain angle avec l'horizontale du plan. Ralenti par le frottement f=0,10, ce disque s'arrête en revenant à son niveau de départ. Calculer la longueur I de la trajectoire courbe décrite par son centre de figure.

2o Question

Le trapèze isocèle AA' BB′ à bases horizontales représente un fil sans

pesanteur accroché à deux points AA' fixes et portant en B, B' deux poids

égaux p,p.

Sachant

que :

a = 3,00 b 2,00 h = 1,00

calculer la durée d'une petite oscillation simple du système dans le plan AA'.

Ann. des P. et Ch. MÉMOIRES. 1911-IV.

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BIBLIOGRAPHIE

N° 52

Ponts en Maçonnerie (Calculs et Construction), par M. A. Auric, Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées, Ingénieur en Chef de la ville de Constantinople, 1 volume in-18 jésus, cartonné toile. Encyclopédie Scientifique, O. Doin et fils, éditeurs, Paris. Prix 5 fr.

La construction des ponts en maçonnerie ne relève pas exclusivement de la technique de l'ingénieur. La question d'esthétique y joue presque toujours un rôle important, et parfois même prépondérant. Abstraction faite de la décoration proprement dite, qui est du ressort de l'architecture, il appartient à l'ingénieur de déterminer les dimensions et les dispositions des divers éléments de l'ouvrage, de façon à obtenir un ensemble bien proportionné et harmonieux, qui donne aux spectateurs non initiés aux lois de la stabilité, l'impression que le pont, robuste et bien équilibré, répond parfaitement à toutes les conditions qu'il doit remplir. A cet égard, une étude historique et descriptive des ponts construits dans le passé est le préambule indispensable de tout traité didactique sur la construction de ces ouvrages. C'est le sujet du premier chapitre du livre de M. AURIC, où la question est traitée de façon très complète. L'auteur s'est attaché spécialement à développer les considérations d'esthétique, et il a été conduit à énoncer à ce propos des vues personnelles intéressantes, notamment sur l'origine de l'ogive et de l'anse de panier.

Au point de vue purement technique, M. AURIC s'est livré à des considérations générales sur les divers types de voûtes, sur leur rôle et sur leur stabilité, qui font échapper sa rédaction au reproche d'aridité que l'on adresse souvent, non sans motif, aux livres écrits spécialement pour les ingénieurs.

En ce qui touche les problèmes de stabilité et les procédés d'exécution, on trouve une étude très complète des courbes d'intrados et d'extrados des voûtes, et des profils de raccordement des chaussées; des recherches personnelles sur la stabilité des voûtes, avec applications à la cycloïde et à la chainette, sur le calcul des épaisseurs, etc.. La question des arcs à triple articulation, qui ont aujourd'hui de nombreux partisans, y est traitée de façon approfondie.

Enfin, l'auteur énonce une formule nouvelle pour le battage des pieux. L'ouvrage de M. AURIC sera lu avec intérêt et avec profit par tous les

ingénieurs. Il constituera, pour ceux qui débutent, un guide très sûr et très complet. Les personnes déjà familiarisées avec la construction des ponts en maçonnerie y trouveront des renseignements utiles et des aperçus nouveaux qui leur en rendront la lecture facile et attrayante.

J RÉSAL.

N° 53

Versuche mit Eisenbeton-balken zür Bestimmung des Einflusses der Hakenform der Eiseneinlagen. - Essais de poutres en béton armé pour déterminer l'influence de la forme des crochets aux extrémités des armatures (exécutés dans le laboratoire des essais de l'Ecole supérieure technique à Stuttgard, 1910 et 1911). Rapport dressé par le Professeur C. BACH et par O. GAF, Ingénieur. Berlin, Wilhelm Ernst et Fils. Broché 5 Mk 20.

Cette intéressante brochure commence par la description des divers types de poutres soumis aux épreuves.

Les matériaux étaient: le portland des usines d'Heidelberg et Mannheim, le sable et le gravillon du Rhin pris au voisinage de Spire. Le béton formé d'une partie (volume) de ciment, 2 de sable, 3 de gravillon et 9% d'eau, offrait au bout de 45 jours une résistance à l'écrasement de 250 kq/cm2, (sur cubes de 0,30 de côté). Le mélange était fait à la machine Patent Hüser ".

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Le métal des armatures était du fer du commerce de 25m/m et 26m/m, ayant une résistance à la traction de 61,99 avec une limite de striction de 61,99 lorsqu'il était étiré et lorsqu'il était brut de laminage 31,10 et 49,16.

Les poutres de 1,500 × 0,30 x 0,30 étaient confectionnées dans des moules de sapin disposés horizontalement, par 4 couches égales. L'armature était placée et calée avant le pilonnage de la première couche.

Les charges étaient appliquées symétriquement au tiers et aux deux tiers de la longueur des poutres en commençant par des charges totales de 1.000 k., puis 2.000 k. et en limitant les accroissements à 250 kg. quand approchait une période critique.

Les principales conclusions du travail peuvent être résumées comme suit:

1° Poutres sans étrier :

1. Qu'il s'agisse d'armatures en fers ronds lisses ou en fers bruts du laminoir (mit Walzhaut) qu'elles soient munies de crochets ou non, les