qui fournissent les éléments de détermination de la courbe de pression avec une grande approximation.

2o Pour les forces complémentaires, on résoudra les équations fondamentales dans lesquelles on prendra pour a

u

a

et 3

u

a

les valeurs données plus haut dans le cas où la fibre moyenne est une parabole.

Ces équations s'écrivent ainsi :

Une fois connues, pour les forces complémentaires, les valeurs de la poussée et du moment d'encastrement, on obtiendra en les additionnant avec les valeurs analogues correspondant aux forces (x) de les deux inconnues du problème : Poussée horizontale et moment d'encastrement résultants.

On a envisagé deux ensembles de forces: un ensemble de charges principales pour lequel l'application des formules fournit des résultats très approchés; un ensemble de charges complémentaires pour lequel on s'est contenté de formules approximatives valables dans le cas où la fibre neutre est une parabole

(b1 = 0).

L'erreur commise par suite de cette assimilation ne peut être considérable. L'erreur relative sur le total est évidemment encore plus faible.

Si l'on y tient on peut encore la diminuer de la manière suine sont autres à des coeffi

vante : les fonctions (),

a

Soit OBA la parabole passant par le sommet O et la naissance A de la fibre moyenne OCA; on décompose géométriquement le domaine d'intégration compris entre l'arc OBA et la ligne brisée OMA en plusieurs trapèzes : à l'intérieur de chacun de ces trapèzes l'erreur moyenne sur z est corrigée par l'adoption d'un

mc

coefficient tel que ; on évalue approximativement la valeur

mb

relative de chacune des intégrales partielles se rapportant à ces trapèzes et l'on détermine ainsi les coefficients de correction moyens dont devront être affectées les valeurs données par les tables

u

pour les coefficients z et ((fig. 24).

a

En général, sauf peut-être pour le calcul de très grands ouvrages, cette correction sera inutile.

La division des forces en deux ensembles a d'ailleurs un autre avantage pratique elle facilite l'étude des dispositions d'un ouvrage d'une manière générale une loi des forces telles que

(x) dx correspond de façon plus ou moins approchée aux poids de la voûte nue. Les forces complémentaires représentent surtout les poids des superstructures: l'effet séparé de ces forces est utile à connaître si l'on veut pouvoir déplacer certaines d'entre elles, en modifiant par exemple l'emplacement des piles séparant les voûtelettes d'élégissement.

M m

2o Discussion.

F

Fig. 24.

Il est intéressant de connaître par avance la position des réactions pour un ensemble donné de deux charges symétriques isolées.

La discussion est simple dans le cas où à = 0

passant par les naissances, les valeurs négatives au-dessous :

Ann. des P. et Ch., MÉMOIRES, 1919-VI.

25

comptons les valeurs positives de u suivant l'axe QU (fig. 25).

La courbe f(u) =

p.

Q + U

Fig. 25.

H

(courbe I') est asymptote vers le bas

à la verticale d'abscisse ua. Elle coupe la verticale passant par l'origine en un point d'ordonnée

On a pour l'abscisse du point où la courbe coupe l'axe Qu

L'ordonnée du point de passage de la courbe de pression à la

clef, comptée du centre O, est:

Le point de rencontre avec l'horizontale à la clef a pour

abscisse

a (1 + è) — a = 0,26 a 1,26 a è = 0,26 a+ɛ.

Les courbes I et C étant tracées on obtient immédiatement la ligne de pression correspondant à un ensemble de deux forces symétriques en prenant les intersections M et N de la ligne d'action P avec les courbes C et l'; on projette M et M' sur la verticale de clef, N en N' sur la verticale de naissance; le polygone de pression est N'M M' pour la moitié de l'arc. On en déduit immédiatement la construction de la réaction aux naissances et celle de la poussée.

Soit maintenant la courbe de pression correspondant à un ensemble de charges admettant la fibre moyenne pour funiculaire (charges uniformément réparties suivant l'horizontale).

J'appelle cette courbe courbe principale de pression. On voit immédiatement par l'application des formules ci-dessus (3) où l'on fera = 0 que les ordonnées des points de rencontre de la parabole de pression avec les verticales de naissance et de clef ont pour valeur: