N° 12 TRACÉS DE ROUTES A COURBURE CONTINUE RACCORDEMENTS A COURBURE PROGRESSIVE Le développement de la circulation automobile a rendu nécessaire l'amélioration des profils des chaussées par l'introduction de dévers dans les courbes de faible rayon. L'adoption systématique de virages relevés présente un avantage d'un autre ordre en permettant, dans l'étude d'un tracé, une réduction sensible des caractéristiques de courbure généralement adoptées : une courbe de 30 m. convenablement relevée se franchit tout aussi aisément qu'une courbe de 50 m. à profil horizontal. Dans ces conditions, une voie offrant des courbes relevées de 30 m. à 50 m. présentera les mêmes facilités de circulation qu'une voie comportant exclusivement des courbes sans dévers de 50 m. et son établissement sera beaucoup plus économique. Mais dès lors qu'on introduit dans le tracé d'une route destinée à la circulation automobile des courbes de 30 m., il devient nécessaire de ménager des raccordements progressifs entre ces courbes et les alignements. L'expérience montre que cette mesure est utile dès que les rayons deviennent inférieurs à 50 m. On peut appeler les tracés ainsi obtenus tracés à courbure continue. L'étude qui suit a pour but l'exposé d'une méthode de réalisation pratique des raccordements progressifs; on en donnera l'application à un essai de tracé à courbure continue et on décrira en dernier lieu les types de profils relevés que l'on a arrêtés pour concilier les exigences des divers modes de circulation. I. RACCORDEMENTS A COURBURE PROGRESSIVE 1. CHOIX DE LA COURBE DE RACCORDEMENT. On a eu tout d'abord l'idée de ménager un raccordement entre un cercle C et une droite D au moyen d'une série d'arcs de cercle tangents entre eux et de rayon croissant d'une façon continue C', C", C". C" C" C' (D) C. Fig. 1. Cette solution, très simple en principe, peut à la rigueur suffire pour les tracés de routes; mais elle est d'application délicate en raison des nombreux changements de station qu'elle impose au cours de l'implantation et du cumul d'erreurs qui en résulte nécessairement. Il sera toujours préférable d'adopter une courbe continue si son report sur le terrain permet d'éviter les difficultés de cet ordre. On aura l'équation d'une telle courbe en se fixant par avance une loi de variation progressive au rayon de courbure r. Trois lois simples de variation progressive du rayon de courburer ont été retenues: Les courbes définies par ces équations ont été étudiées par M. de Leber qui les appelle radioïdes (1). La première équation donne, en raison même de sa forme, la résolution parfaite du problème des raccordements progressifs : elle caractérise la clothoïde dont l'application aux tracés de chemins de fer a fait l'objet d'une étude de M. d'Ocagne. L'intégration de la deuxième équation conduit à la courbe élastique qui, aux environs de l'origine où l'inclinaison de la tangente avec l'axe des x est négligeable, se confond sensiblement avec la parabole cubique L'emploi de cette courbe est recommandé par M. de Leber qui en a fait une étude approfondie et a résolu le problème le plus général du raccordement de deux cercles. Enfin la troisième équation caractérise la lemniscate de Bernoulli dont l'emploi a été préconisé en 1895 par M. Adam (2): (2) = 3 C sin 2 o (1) M. de Leber, Calcul des raccordements paraboliques dans les tracés de chemins de fer Paris, Baudry, 1892). (2) On trouvera tous les développements nécessaires pour l'étude et l'emploi de la clothoïde dans les articles suivants : La parabole cubique (ne saurait convenir ici, la simplification C 218 n'étant qui permet de la lier à l'équation caractéristique r = plus admissible pour de faibles valeurs du rayon de courbure. La clothoïde, comme toutes les courbes dont l'équation est rapportée à des coordonnées cartésiennes, est d'un tracé délicat en terrain tourmenté. La lemniscate de Bernoulli paraît être la courbe la plus convenable aux raccordements que nous nous proposons de réaliser parce que son équation en coordonnées polaires en permet l'implantation dans les terrains les plus accidentés aussi aisément que s'il s'agissait d'un cercle. On verra également par la suite qu'elle se prête remarquablement à la résolution pratique du problème des raccordements et que son tracé se rapproche de celui de la clothoïde au point que les deux courbes se confondent pratiquement. Je rappellerai tout d'abord la propriété classique suivante : La tangente en un point fait avec le rayon un angle (V) double de l'angle polaire. On démontre sans peine cette propriété en partant de la formule connue : Il suit de là que l'angle de deux tangentes est triple de l'angle des rayons polaires correspondants. On démontre enfin que le lieu géométrique des pôles des lem M. Tourtay, Annales, 1883, p. 387. M. d'Ocagne, Annales, 1902, 3e trimestre et Cours de Topométrie de l'École des Ponts, p. 118 et suivantes. Les articles de M. d'Ocagne sont suivis de tables permettant l'emploi de la clothoïde dans les tracés de chemins de fer et de routes. On consultera utilement pour l'emploi de la lemniscate l'article de M. Adam, Annales, 1895, p. 383 (avec tables applicables aux tracés de chemins de fer). Voir enfin pour l'emploi de la parabole cubique, outre l'ouvrage de M. de Leber, les articles suivants : M. Nordling, Annales, 1867, 2o semestre, p. 312. |