montré que cette fraction pouvait être de l'ordre de i); A, sera donc positif en général, mais nous n'aurons pas besoin de son

Jah signe; est petit en valeur absolue d'après nos hypothèses, au dx2

moins en général, par rapport à la plus grande des deux quantités

d2 h [h'], [h']; mais cela ne veut pas dire que, dans (5), B, le soit

d x2

par rapport au plus grand en valeur absolue des deux premiers termes (1), à cause du petit coefficient au dénominateur de B1. Les raisonnements que nous allons faire supposent seulement A1, B, finis (ainsi que, le cas échéant, leurs dérivées) et B, plus grand que 0. Ils s'appliqueront donc en principe à toute équation de la forme (5) avec d'autres valeurs de A1, B1, comme nous en rencontrerons dans la suite, ou comme nous en signalerons accessoirement (voir no IX et nos Essais d'hydraulique souterraine et fluviale, Paris, Hermann, 1905, p. 94 et 96).

Observons à ce sujet que les termes négligés dans l'équation (1 bis) ne peuvent altérer sensiblement les résultats que nous obtenons grâce aux équations (5) et (10) par notre discussion géométrique des nos IV à VII: c'est là une remarque qui a une portée plus générale et qui peut s'appliquer fréquemment (par exemple dans les cas du n° IX) quand on discute directement, sans intégration, des équations différentielles ou aux dérivées partielles déduites d'autres en négligeant certains termes très petits relativement, et en n'utilisant les équations simplifiées que pour déterminer des signes de dérivées ou encore en restant dans un domaine assez petit. Les équations (5) et (10) ne nous servent dans les nos IV à VII qu'à trouver ces signes ou la grandeur relative des dérivées et le sens de la variation des fonctions h, q et de leurs dérivées.

Notons encore que les équations (5) et (10) peuvent donner lieu à diverses remarques concernant la courbure de ce que nous allons appeler l'onde-niveau ou l'onde débit, ou les parties de ces

(1) On le vérifie en remplaçant dans (5) 'h't par q'x, intégrant par rapport à a entre un maximum de h ou un minimum et un point d'inflexion voisin de l'onde niveau, et appliquant le théorème de la moyenne.

courbes où un des termes de (5) ou (10), le premier ou le dernier notamment, serait négligeable. Je ne m'y arrêterai pas.

Considérons la fonction h = f(x, t); cette équation, pour chaque valeur de t, est, en coordonnées cartésiennes rectangulaires x, h, celle de la surface libre ou onde-niveau C'; pour une valeur de x, elle représente la courbe C, des niveaux en x, óu courbe des niveaux locaux (1).

Supposons que, pour x = x', tt', on ait h', 0, c'est-àdire que h soit en x'un maximum ou un minimum local, de valeur h'. Si l'on envisage l'enveloppe des courbes C'1, elle touche au point P (x', h') l'enveloppée C'. Au temps t'+dt, ce maximum ou minimum est venu en P', point tel que dh' le niveau est

0, et où

La condition nécessaire et suffisante pour que le niveau du maximum ou du minimum se conserve est qu'on y ait à la fois quel que soit t'

soit aussi constamment un maximum ou un minimum de l'ondeniveau l'enveloppe de celle-ci est une parallèle à Ox (1).

On peut vérifier qu'alors toutes les dérivées d'ordre quelconque de h en x et s'annule; aux mêmes points. En effet, d2 h d'après (5),

s'y annule; le point P' satisfait à

dx2

(1) Nous aurons de même l'onde-débit ou l'onde-vitesse représentant à l'instant la courbe des variations de q ou U en fonction de x, et la courbe des débits locaux ou des vitesses locales au point x, représentant la variation en ce point de q ou de U en fonction de t. On aura à distinguer les maxima et minima de ces ondes, c'est-à-dire ceux de h, q, U par rapport à r, et les maxima ou minima locaux, c'est-à-dire ceux de h, q, U par rapport à t. Une distinction analogue peut être faite pour toute autre fonction de x et t.

en P, quel que soit ce maximum ou minimum P. L'équation (5) dérivée en x et t donnera

d2 h

др

Ce cas exigerait, d'après la formule de Taylor, la réalisation du régime uniforme h const., au moins sur une certaine longueur L、: cela pourrait d'ailleurs n'avoir lieu qu'approximativement, les dérivées y devenant seulement négligeables et non rigoureusement nulles, et n'est même pas incompatible avec l'équation (1) non simplifiée. Il y aurait alors à supposer, si L est fini, aux extrémités de cette longueur L certaines discontinuités, ou, si l'on veut, des phénomènes rendant inapplicables l'équation(1) dans le voisinage de ces extrémités.

(1) On peut supposer que l'équation (5) se réduise à (5 bis) hí + A1 h'x: 0, mais seulement approximativement, dans un certain intervalle de ¤ ̧ठet pendant un certain temps, le mouvement étant alors quasi-uniforme dans chaque partie assez peu étendue de cet intervalle. Ce cas se traite comme le cas connu (Boussinesq, Essai sur la théorie des eaux courantes, p. 470 et suiv., Delemer, mémoire cité) du mouvement quasi-permanent où l'équation (10) plus loin peut être réduite approximativement à ses deux premiers termes et donner lieu à une étude de deuxième approximation (faite avec des procédés tout différents des nôtres par M. Boussinesq, p. 480), aboutissant, au moins pour le régime quasi-uniforme, à la loi de Baumgarten.

Ces cas sont d'ailleurs compris comme cas particuliers dans ceux que nous étudions (nos IV à VII) et notre méthode géométrique s'y applique, les résultats étant sensiblement simplifiés. Si, par exemple, on admet que (5 bis) s'applique aux environs de chaque maximum ou minimum local, les maxima et minima locaux sont aussi ceux de l'onde niveau et de l'onde débit, et la loi de Baumgarten (n° VII) est une conséquence immédiate de (4); les niveaux maxima et minima se conservent en se propageant.

Doit-il arriver alors, en admettant la possibilité de cette solution, que la longueur L diminue dans la propagation? Kleitz dit (Annales des Ponts et Chaussées, 2o sem., 1877, p. 157) que, dans le cas où la crue est étale pendant un certain temps, à une station x, en supposant le régime permanent réalisé dans cet intervalle, «< on se rend facilement compte que la durée » de ce phénomène «< ira en se raccourcissant de plus en plus » dans la propagation, et qu'il finira par disparaître; Flamant (Hydr., p. 400) reproduit ce passage de Kleitz, mais aucun des deux auteurs ne donne de démonstration.

Quoi qu'il en soit, c'est un cas que nous laisserons de côté dans la suite, ce qui revient à admettre que le régime n'est pas uniforme et que la formule de Taylor s'applique toujours et partout à h= f (x, t). Les équations (7) n'auront lieu à la fois que pour des valeurs exceptionnelles de xet t que nous pourrons toujours laisser de côté (1).

Dans ces conditions, envisageons un maximum ou un minimum M de l'onde-niveau pour x = x1, t = t1. D'après (5), h'、 y étant nul,

En un maximum où

әһ

0,3 est négatif, tandis qu'il est

positif en un minimum : la variation de niveau du maximum ou du minimum pendant le temps dt est h dt: Chaque maximum s'affaisse, chaque minimum se relève. On peut remarquer que h't est proportionnel à la courbure en M. Finalement les creux et les saillies de l'onde-niveau tendent à disparaître, et cela d'autant plus

(1) Pour ces valeurs, les dérivées de h par rapport à x et t ne seront pas toutes nulles on pourrait étudier alors les circonstances spéciales intéressantes que présente le voisinage de ces points. Pour la marche à suivre, on procédera en s'inspirant de ce que nous avons fait dans le cas assez analogue, un peu plus simple, des ondes-niveaux souterraines dans nos Essais d'hydraulique souterraine et fluviale, p. 96 et suiv. On voit en même temps que cet examen peut être laissé de côté, si l'on veut se borner à établir la tendance de la surface libre à la régularisation par disparition des maxima et minima.

vite qu'ils sont plus accentués (1). La plus grande hauteur à distance finie diminue toujours.

V

Propagation des maxima et des minima locaux.

Considé

rons la partie de l'onde-niveau au temps t, située de part et d'autre d'un maximum M jusqu'aux minima voisins (fig. 1) (l'un

t

x

Fig. 1.

d'eux ou tous deux pouvant être à l'infini) et, dans cette partie, que nous appellerons un arceau, un point A où h1 = 0 au temps. t. Pendant le temps dt le maximum ou minimum local A va cheminer du côté où h' > 0 au voisinage de A si c'est un maximum local, du côté où h', < 0 si c'est un minimum local; ce cheminement continuera dans le même sens quand t croît, à moins que A ne s'arrête, puis ne rétrograde, devenant un minimum local après avoir été un maximum local ou inversement (dans le cas général).

(1) C'est là un résultat que nous avions trouvé à peu près en même temps. que le résultat précité analogue pour les ondes souterraines, c'est-à-dire il y a plus de quinze ans, en admettant l'exactitude de la formule (4) avec λ= 1, par analogie avec la formule connue de Dupuit pour les nappes souterraines (Flamant, Hydr., p. 333). Mais il nous semblait indispensable d'avoir des justifications expérimentales plus complètes de cette formule (4), avant toute publication, que nous avions ainsi différée.

Le résultat obtenu serait encore plus net si l'on pouvait établir que les valeurs maxima de h'x I diminuent à l'instant t. Il suffirait de vérifier que h′′xt est négatif aux maxima de h, où h"," = 0, h",30, positif aux minima, c'est-à-dire du signe de h"",3 en ces points.

Ce résultat est immédiat pour des équations des formes (11) (petites crues lentes) et (14) du no VIII. On le démontre encore assez facilement en ce qui concerne les maxima de h's, avec les formules (5), dans le cas d'une section rectangulaire très large.