où les coefficients a; auraient une valeur inférieure à l'unité et C. Chree, reprenant la question dans le Phil. Magazine de mai 1904, a signalé la convenance d'une modification de ce genre pour certains cas.

(Notons ici que C. Chree détermine la fréquence des oscillations transversales du système tournant par la méthode statique de Lord Rayleigh et qu'il obtient la formule k2 K2 w2 pour la fréquence = - w2 d'un système tournant à la vitesse angulaire w, K étant la fréquence des oscillations pour 0. Les vitesses critiques sont alors données par k=0. Ce géomètre admet d'ailleurs l'existence d'une rotation entretenue de l'arbre autour de l'axe des x tandis que l'entraînement extérieur ne détermine immédiatement qu'une rotation autour de la ligne neutre.)

Plusieurs auteurs ont cherché récemment la justification rationnelle de la formule empirique de Dunkerley; nous signalerons d'abord le mémoire sur la Détermination graphique de la vitesse critique que Victor Blaess a publié dans la Zeitschr. des Ver. deutscher Ingenieure du 31 janvier 1914.

Supposant que le centre de gravité S de la masse tournante m soit déplacé de e par rapport au centre de figure de l'arbre, n étant la distance de S à l'axe, a la résistance de l'arbre à la flexion appréciée en Kg pour une flexion de 1 cm. on doit avoir pour l'équilibre de cette résistance et de la force centrifuge

a (r — e) = ma2r

On peut, avec un système d'axes rectangulaires ayant les r pour abscisses, représenter d'une part les droites C = ma2 r de coefficient angulaire ma et d'autre part la droite R e) rencontrant les droites C pour des valeurs de r et a qui satisfont à l'équation précitée. Il y a vitesse critique si R et C sont parallèles, c'est-à-dire pour mw 2

=

Pour une vitesse plus élevée, R et C recommencent à se couper à distance finie, l'équation devient avec un changement de signe :

α (r+e) = ma2r

et le centre de gravité se rapproche de plus en plus de l'axe géométrique.

Mais il faut considérer le mouvement relatif du centre de gravité S dans un plan tournant à la vitesse a en tenant compte de la force centrifuge composée; les coordonnées de S étant x et y, pet q les projec

Admettant que o peut être pris comme constant en première approximation, V. Blaess trouve comme solution particulière :

Il serait donc possible d'avoir une rotation à la vitesse constante

avec un centre de gravité écarté de r。 =

2

ωκ

e.

2

2

W

ωκ

En désignant par Az le travail de flexion développé par la force centrifuge sous l'action de charges Gi donnant individuellement lieu à des flexions e; au droit de leur point d'application, on a pour une vitesse critique ok:

Si toutes les charges sont enlevées sauf celle de rang 1, on aura :

Or, la formule de Dunkerley revient à admettre que les Az Azi sont tous égaux,

Mais étant donné l'existence de relations linéaires entre les inflexions u de l'arbre mesurées au droit des disques et les forces centrifuges développées par leurs masses, on devait être conduit pour un ensemble de masses à former un système de n équations de la forme

où =

6EJI
Q2

et les coefficients f, f2 sont fonctions de la grandeur

et de la position des masses m, m2 mn.

En éliminant u1, U2, u1, on obtenait sous forme d'un déterminant égalé à zéro une équation en dont les racines correspondent aux n vitesses critiques que l'arbre peut prendre sous l'action de ces masses. C'est la marche qu'a indiquée le Professeur H. Jeoffeott dans une communication du 18 juin 1918 publiée par les Proceed. Royal Society du 7 octobre suivant. Considérant le système des équations

conformément au principe de réciprocité ou de Betti. Le déplacement en un point A de l'arbre sous l'action d'une charge au point B est égal au déplacement de B sous l'action de la même charge agissant en A.

Le développement du déterminant suivant les puissances de lui donne :

Si on considère isolément l'action de chaque masse on aura :

La somme des carrés des inverses des vitesses critiques pour un arbre chargé de plusieurs masses est égale à la somme des carrés des inverses des vitesses critiques correspondant à l'action isolée de chaque

masse.

Dans une première approximation, si la première vitesse critique

, est notablement inférieure aux suivantes, on pourra négliger

1

2

2

1

+ + on a, dans ce cas, la règle empirique de Dunkerley,

correspondant évidemment à une valeur trop faible de 1.

Pour obtenir une plus grande approximation il faudra, dans le développement indiqué plus haut, tenir compte du terme en on-2 et

w', w" étant la première et la seconde vitesses critiques lorsque les masses portées par l'arbre agissent par couples au lieu d'agir isolé

ment.

Si on considérait les puissances de venant après pn-2 dans le déterminant on trouverait de même que la somme des carrés des inverses des produits à r des n vitesses critiques est égale à la somme des carrés des inverses des produits des r vitesses vibratoires relatives à chaque combinaison de r masses, les autres (nr) masses étant considérées comme inexistantes.

La marche indiquée par le Prof. Jeffeott dans les Proceedings a été reprise avec de plus amples développements par le Prof. E. Hahn de l'Université de Nancy, dans un mémoire inséré aux nos 19 et 20 de la Schweizerische Bauzeitung (9-16 novembre 1918).

Cet auteur examine notamment l'influence de l'excentricité des disques et de leur obliquité; il introduit d'après Stodola les couples de redressement donnés par des relations M == τι ω, τ désignant l'inclinaison de la ligne élastique (assez faible pour qu'on puisse poser COST = 1) et le moment d'inertie du disque par rapport à un diamètre. Il considère le principe de superposition comme applicable et détermine les déformations dues aux couples en appliquant la proposition suivante :

L'effet d'un couple de moment égal à l'unité en un point d'un arbre est égal à la dérivée partielle de l'effet similaire produit au même endroit par une force unité dont le point d'application est identique à celui du couple, la dérivée partielle étant prise par rapport au paramètre qui définit la position de la force ou du couple.

On arrive ainsi à former un système d'équations linéaires reliant les déformations partielles aux forces et aux couples, suivant des formes analogues à celles du système précédent mais avec 2 n inconnues comprenant les n inclinaisons T. Le déterminant d'ordre 2 n formé par les coefficients des ipconnues doit encore s'annuler pour les valeurs

critiques de la vitesse, mais il est à remarquer que les inclinaisons des disques sur l'arbre peuvent donner lieu à des vitesses critiques imaginaires dont il faut faire état pour que la formule de Dunkerley se trouve encore vérifiée.

Il convient d'observer que l'apparition des vitesses critiques dans les solides tournants correspond à l'un des cas limites où l'on doit se demander si l'application du principe de la superposition est légitime. Il faut se rappeler la réflexion judicieuse formulée à ce sujet par C. Duguet dans sa Physique qualitative (Berger-Levrault, 1889, p. 38): «L'expérience prouve que les allongements ou raccourcissements « d'une barre d'acier doux, produits séparément par traction simple << ou compression simple sont très petits et entièrement élastique s «< lorsque tou p 25 kil. par mmq., tandis que les mêmes efforts développés simultanément et à angle droit par la torsion d'un cylindre de même métal déterminent des déformations bien plus << considérables et en grande partie permanentes.

<< Cette expérience parfaitement nette et qui n'exige aucune mesure << précise suffit à montrer que l'indépendance des effets des forces élastiques n'est pas admissible en général, qu'elle ne résulte nulle<< ment de l'indépendance des forces appliquées à un point matériel ; << que les corps naturels, au point de vue des déformations, ne doivent « pas être considérés comme formés de simples points matériels. »

Notons avec Stodola qu'un arbre tournant à la vitesse critique se rouve en équilibre indifférent.

Il reste à signaler quelques applications que le Prof. Hahn a faites. de ses résultats à divers cas particuliers:

appuis étant l, I le lets= Sl, le dia

1o Arbre de section constante: la distance des moment d'inertie de la section transversale, x = mètre d, on obtient en appliquant la formule de Dunkerley :

tandis qu'en intégrant l'équation de la ligne élastique (V. Stodola, loc. cit.) on aurait exactement

2o Influence de l'obliquité d'un disque : m étant la masse du disque ◊ = m\2 son moment d'inertie. L'équation complète pour le calcul de la vitesse critique est donnée sous la forme :