marche un profil en dos d'âne pour rejeter les eaux pluviales vers les murs d'échiffre où elles sont recueillies par deux petits caniveaux; ce dispositif est disgracieux et paraît assez peu efficace. Nous préférerions donner aux marches une certaine contrepente envoyant les eaux dans un caniveau au pied de la contremarche comme fig. 6, la pente de ce caniveau étant soit

vers le mur d'échiffre, soit plutôt vers l'axe où un collecteur recouvert de plaques de fonte amovibles courrait sous la maincourante axiale.

Pour les grandes largeurs il est avantageux de ne donner à la chaussée que la largeur nécessaire à la circulation à prévoir, soit 4 à 6 m, avec minimum de 3 m 50. A Alger on place généralement une volée d'escalier de 2 m de largeur contre chaque mur, l'espace intermédiaire en pente continue ou en terrasses étant traité en jardinets. Ce parti dessert bien les immeubles riverains et réserve la place pour un mode de transport rapide, funiculaire ou escalier mobile. Le parti inverse, escalier axial et jardinets latéraux, nous paraît préférable lorsqu'une telle installation n'est pas à prévoir. La municipalité peut en effet, dans ce cas, n'acquérir que l'emprise de l'escalier et laisser celle des jardinets aux propriétaires riverains, avec servitude d'alignement et d'entretien en jardin, quitte à les stimuler par des concours dotés de prix; il en résulte une économie de travaux neufs et d'entretien pour les finances municipales, une amélioration de l'aspect de la rue, et une augmentation de confort des

immeubles.

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Revêtements. Dans le cas d'une pente moyenne faible comportant des quasi-paliers, le ruissellement des eaux pluviales élimine l'empierrement. Le revêtement le plus économique dans ce cas est une couche de 0,10 de béton de chaux hydraulique sur un blocage damé. Si l'on est plus au large pour la dépense, les carreaux en ciment comprimé (adoptés en général à Alger) ou les carreaux céramiques dits de Boulogne ou de Pont-SainteMaxence fourniront de bonnes solutions.

Le béton est insuffisant pour les marches, où l'usure se localise au voisinage des mains-courantes. Il faut adopter soit la pierre dure, soit les carreaux, qui se prêtent mieux aux réparations locales, en protégeant l'arête, par une cornière dans ce dernier cas.

Il sera très utile, au point de vue de la visibilité nocturne, de faire les marches alternativement en matériaux clairs et foncés, par exemple carreaux de Boulogne noirs et jaunes; calcaire de Cassis et calcaire bleu d'Algérie; granit rose et porphyre ou basalte.

Ann. des P. et Ch., MÉMOIRES, 1919-IV.

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N° 24

CHRONIQUE

La formule de Dunkerley pour la vitesse critique des arbres tournants; démonstrations et applications.

Par M. GOUPIL,

Ingénieur en chef des Ponts et Chaussées.

Les premières recherches relatives à la stabilité des arbres tournants eurent pour objet l'explication des allures désordonnées ou mouvements d'essor (whirling en anglais, schleudern en allemand), phénomènes que l'on croyait susceptibles d'apporter une limite supérieure à l'augmentation de la vitesse de rotation. On peut citer le travail de W.J. M. Rankine Machinery and Millwork. Londres, 1869, p. 549. Plus tard, en 1883, G. Greenhill produisait des observations dans les Inst. Mechanical Eng. Proceedings (p. 182), mais à la même époque G. de Laval montra que la rotation des arbres reprenait une allure tranquille quand la première vitesse critique était dépassée, et ses observations furent le point de départ de recherches théoriques générales sur la stabilisation des arbres tournant à grande vitesse.

Deux procédés pouvaient être envisagés comme pour les recherches de stabilité statique soit qu'on étudiât la stabilité d'une forme rectiligne, dans un système à symétrie d'axes complète et à parfaite compensation des masses; soit qu'on admît dès l'état de repos, et le système étant libre de charges, l'existence de faibles déviations ou de légers balourds. Le premier procédé, en se limitant aux mouvements dits stationnaires compatibles avec de légères déformations de l'arbre conduit à des problèmes de valeurs limites analogues aux problèmes de stabilité de l'équilibre élastique. En général on a la forme rectiligne comme unique solution jusqu'à certaines valeurs du nombre de tours considéré comme paramètre. Ces valeurs spéciales sont dites nombres de tours critiques et la solution correspondante n'est déterminée qu'à une constante près (voir A. Stodola, Les turbines à vapeur, trad. E. Hahn sur la 3o éd. allem. Paris, 1906, p. 410).

Si on met en compte une répartition excentrique des masses, aux nombres de tours ou aux vitesses de rotation critiques correspondra généralement une valeur apparemment infinie de la flexion, c'est-à-dire que pour ces vitesses critiques il ne peut subsister dans la limite des petites déformations aucun état de mouvement stationnaire.

Supposons que l'axe neutre de l'arbre qui, à l'état de repos, doit coïncider avec l'axe des x, soit infléchi dans le plan des xz et que le système tourne ainsi que ce plan d'une vitesse angulaire uniforme w autour de l'axe des x, alors la flèchez prise par l'axe neutre devra satisfaire à la même équation différentielle qu'une tige au repos qui serait chargée d'un poids uniformément réparti de yz 2 par unité de longueur ( étant la masse de l'arbre rapportée à l'unité de longueur)

Si l'arbre est posé sur des paliers d'éloignement l'on aura les conditions aux limites :

Si l'arbre porte sur plusieurs paliers et s'il est chargé de plusieurs disques l'équation différentielle précitée s'appliquera aux portions limitées soit à un palier soit à un disque. Chaque volant ajoute une charge isolée Z=mzw2 et un couple dans le plan xz, M = (Jx— Jy)

dy

w

dx

(m étant la masse, J. Jy les moments d'inertie du volant par rapport à l'axe des x et par rapport à l'axe des y).

On a alors pour ces points les conditions aux limites:

Sin est le nombre des portions lisses, les conditions aux limites donneront pour les 4n constantes autant d'équations linéaires. La condition que les constantes ne disparaissent pas simultanément donne alors une équation transcendante pour les vitesses critiques wk .

Pratiquement on obtient la vitesse critique avec une approximation suffisante, en considérant l'arbre comme dépourvu de masse (y = 0), la solution est alors

Mais le calcul avec cette approximation est encore assez pénible quand la disposition des masses tournantes n'est pas tout à fait simple. Dunkerley chercha vainement un moyen pratique d'obtenir l'intégration de la ligne élastique dans les cas généraux et son important mémoire publié dans les Philosophical Transactions (Londres, 1894, p. 279) aboutit finalement à la règle pratique dite formule de Dunkerley: L'inverse du carré de la vitesse critique du système est égal à la somme des inverses des carrés des vitesses critiques élémentaires.

wi désignant la vitesse critique dans le cas où l'arbre n'est chargé que par le ime disque ou volant.

Dunkerley n'a donné aucune démonstration de cette formule empirique, il a simplement constaté qu'elle s'accordait généralement avec ses résultats d'expériences (1); toutefois la méthode n'est pas absolument sûre et Dunkerley lui-même reconnaît dans son mémoire (voir §§ 30, 33, 34) que dans certains cas l'écart des résultats calculés avec l'expérience est trop considérable et il proposa même de prendre une formule du type

(1) Il convient de mentionner aussi les expériences de Stodola sur arbres chargés et non chargés mentionnées dans son traité des turbines à vapeur.