Soit A le pôle de la lemniscate et M le point de raccordement de cette courbe avec le cercle. Prenons pour inconnue l'angle du rayon AM avec la droite D. L'angle de la tangente avec le rayon polaire étant double de l'angle polaire, on voit immédiatement que On exprime ensuite que le cercle est osculateur en écrivant l'équation de la lemniscate sous la forme (3): p3r sin 2 α l'élimination de p conduit à l'équation en z rcos 3x+3rsin 2 x sin a = m α V2 n'est admissible que si elle est comprise entre et 1. Il con vient en effet de n'admettre pour a qu'une valeur comprise entre 0 et 45o. Une solution a,> 45° ne convient pas dans la pratique parce qu'elle correspond à un contact au delà du sommet S de la lemniscate alors la courbure, au lieu d'aller en croissant d'une ma 1 nière continue de 0 à la valeur donnée , passe en S par une r valeur maximum; comme r est un rayon minimum imposé, la solution n'est pas admissible. On voit immédiatement que la racine toujours réelle de l'équation est négative et ne peut être retenue (cette solution est par ailleurs inférieure à -1 et serait à rejeter au point de vue strictement géométrique). L'équation dérivée donne La racine x, ne sera admissible que si elle est < 1, condition qui équivaut à En résumé, le problème ne fournit de solution acceptable que si l'on a Aux limites: r <m< r √2 = pour rm on a x2 1α2 = 0 le cercle est tangent à la droite; l'arc de raccordement se confond avec cette droite même. la lemniscate est surosculatrice au cercle en son sommet d'angle polaire 45o. Une fois a déterminé, une construction simple donne le point de contact M. On a tout aussi aisément le pôle A. D'ailleurs et pour tracer la lemniscate, on calculera C par la formule C=rp=3r2 sin 2 a. Les tables (I) ci-après (1) 'donnent, pour diverses valeurs de m et de r, les valeurs correspondantes de a, pm et C. Une fois C connu, les tables (II) fournissent les longueurs des rayons polaires correspondant à diverses valeurs de l'angle polaire. Ces tables sont d'ailleurs classées en catégories dont chacune correspond à un arc de courbe ayant pour rayon de courbure d'extrémité (rayon de raccordement) une des valeurs des tables (I). On trouvera enfin dans les tables les longueurs d'arc AM correspondant pour les valeurs admises de C à différentes valeurs de l'arc polaire. (1) Ces tables, trop volumineuses pour être insérées dans les Annales, seront imprimées à part par les soins de l'auteur. Les lecteurs des Annales seront informés de la date à laquelle elles paraîtront en librairie ; ils pourront déjà avoir une idée de leur disposition par les extraits qui se trouvent aux pages 355 et 356, auxquelles ils voudront bien se reporter chaque fois que, dans le courant de cette étude, il sera question des tables I et II. La rectification de la courbe, étudiée à cet effet, donne la série : II. Le raccordement entre la droite XX et le cercle C étant arrêté, soit à établir un raccordement entre le même cercle C et la droite YY ; il peut arriver que l'application de la méthode qui vient d'être indiquée fournisse un point de raccordement tel que M' qui, évidemment, par sa position même, ne peut convenir. En ce cas, si l'on tient à la position du cercle, on pourra accepter un déplacement de l'alignement YY parallèlement à lui-même en se fixant en M le point de raccordement. qui correspond au rayon r donne immédiatement m, d'où la position de l'alignement. МРУ la valeur α= 3 On n'a pas à tâtonner dans la pratique; le point de raccordement avec XX étant M, on sait d'avance qu'une solution n'est admissible que si elle correspond à une valeur de a inférieure à Si pour la valeur m donnée par la table est inférieure à celle mesurée sur le dessin OK on a, sans aller plus loin, la certitude qu'il faut déplacer l'alignement YY et rapprocher du cercle de la valeur OK-m. MPy 3 III. On peut n'être pas satisfait, dans la résolution de ce dernier problème, de la valeur trouvée pour m et il peut y avoir intérêt à conserver à la fois le point de raccordement M et l'alignement YY, quitte à accepter avec la droite un contact simple. en un point où le rayon de courbure aura une valeur suffisamment élevée. Cela se produira par exemple si l'on veut éviter un accident de terrain, ravin, butte, etc. Le problème qui se pose alors est le suivant : Tracer un arc de lemniscate ayant en un point M un cercle de courbure déterminé et tangent à une droite donnée ZZ. Le problème se résout moins simplement que les précédents mais il est possible de diriger les tâtonnements dans la recherche du pôle de la courbe à trouver; traçons le cercle des pôles (T); le pôle de la lemniscate répondant à la question, s'il existe, se trouve sur ce cercle. L'angle V est une donnée du problème; il est triple de l'angle des rayons polaires; donc l'angle MON est connu et, par consé. quent, l'arc MP; le rayon polaire correspondant au point N cherché passe donc par un point connu P. Soit alors O fixé ; l'axe polaire est OBX, B étant le milieu de l'arc OM. On mesure OM = p, d'où Crp, qui se trouve déterminé sur une des tables. |