3

2o que T, et T', seront généralement négligeables, ou au moins leur somme T, + T le sera;

que

3o que T,, dont les deux termes sont souvent de signes contraires, sera sensiblement plus petit en valeur absolue, donc encore plus négligeable; de même pour T.

Envisageons maintenant les exemples numériques dont nous disposons; les résultats obtenus en prenant les valeurs les plus défavorables des quantités étudiées sont groupés dans le tableau ci-après (colonnes 2, 3, 4, 5).

Pour l'Ardèche, nous nous servons du travail déjà cité de M. Delemer (p. 206-208); nous avons cru devoir corriger approximativement une pente de 0,0041 qu'il indique (p. 206 et Flamant, p. 405), plus favorable d'ailleurs, ce chiffre nous paraissant résulter d'une faute d'impression; la forte valeur pour T, a peutêtre une explication spéciale (resserrement du lit).

Pour la Garonne, nous disposons d'éléments incomplets (G. Lemoine, Hydrologie du bassin de la Garonne, Paris, 1902, p. 19, 22, 42; E. Maillet, Crues de la Garonne à Toulouse en 1855 et en 1875, Mém. Assoc. franç. avanc. Sc. (1), Paris, 1900); les chiffres trouvés sont peut-être en partie exagérés, sauf le premier et la valeur de i.

Pour la Marne, nous utilisons des jaugeages journaliers faits en 1907-1908 sous la direction de M. Jacquinot, et pour la Seine des jaugeages analogues exécutés par M. Willemin dans le service de M. Mahieu.

Les valeurs pour T, sont les moins certaines. Nous avons utilisé, parfois, il est vrai, en partie des observations faites en période de débordements sensibles, surtout pour la Seine; mais cela ne pourrait que donner des résultats plus défavorables, soit sûrement, soit vraisemblablement suivant les cas.

Observons que pour des vérifications précises de ce genre, il serait désirable d'avoir en diverses stations des cours d'eau des jaugeages faits expérimentalement et chaque jour pendant une même crue, comme cela a été fait par M. Jacquinot pour la Marne à Saint-Dizier, sur la demande du service central des jaugeages. Malheureusement beaucoup de jeaugeages exécutés dans les fortes eaux sont trop espacés pour nous servir (2).

On nous excusera d'avoir insisté avec tant de détails dans ce no III sur les vérifications expérimentales des formules (3) et (4); nous l'avons fait d'une part à cause des hypothèses particulières que nous avons dû introduire, d'autre part pour rendre faciles aux ingénieurs qui le voudraient de nouvelles vérifications numériques pour d'autres cours d'eau, basées autant que possible sur

(1) D'après une partie d'un rapport à l'appui d'un avant-projet de défense de Toulouse contre les inondations.

(2) C'est le cas de beaucoup des jaugeages dont les résultats ont été communiqués au Service central à Paris de 1896 à 1910. Remarquons que la connaissance d'une courbe approchée des vitesses pour une station pourrait suffire à une première approximation ou une courbe des débits si on adjoignait à chacune une courbe des sections mouillées, comme l'a fait M. Delemer dans son mémoire (planches).

des jaugeages expérimentaux exécutés à des intervallės rapprochés.

Les autres formules connues du mouvement non permanent graduellement varié par exemple (Collignon, Hydr., p. 379, Rabut, Mouret, Cours autographié, p. 670) pourraient donner lieu à des vérifications et simplifications de même nature; bien que moins complètes que (1), elles conduiraient encore à la formule (4) ou à une formule analogue.

IV

Étude géométrique de la propagation des hauteurs des
crues dans un lit sensiblement cylindrique.

Modifications de la surface libre. Nous admettrons, d'après ce qui précède, que la formule (4) soit applicable, et même que le régime soit assez graduellement varié, cette formule pouvant alors être dérivée jusqu'à un ordre suffisant. On a donc :

Dans A, les trois premiers termes, sauf parfois le second, sont positifs; le quatrième terme paraît une petite fraction du premier (pour une section rectangulaire, un calcul approximatif nous a

Ann. des P. et Ch., MÉMOIRES, 1919-III.

21

montré que cette fraction pouvait être de l'ordre de i); A, sera donc positif en général, mais nous n'aurons pas besoin de son

signe; est petit en valeur absolue d'après nos hypothèses, au

moins en général, par rapport à la plus grande des deux quantités

d2 h h', '; mais cela ne veut pas dire que, dans (5), B, le soit d. x2 par rapport au plus grand en valeur absolue des deux premiers termes (1), à cause du petit coefficient au dénominateur de B1.

Les raisonnements que nous allons faire supposent seulement A, B, finis (ainsi que, le cas échéant, leurs dérivées) et B, plus grand que 0. Ils s'appliqueront donc en principe à toute équation de la forme (5) avec d'autres valeurs de A1, B1, comme nous en rencontrerons dans la suite, ou comme nous en signalerons accessoirement (voir no IX et nos Essais d'hydraulique souterraine et fluviale, Paris, Hermann, 1905, p. 94 et 96).

Observons à ce sujet que les termes négligés dans l'équation (1 bis) ne peuvent altérer sensiblement les résultats que nous obtenons grâce aux équations (5) et (10) par notre discussion géométrique des nos IV à VII: c'est là une remarque qui a une portée plus générale et qui peut s'appliquer fréquemment (par exemple dans les cas du n° IX) quand on discute directement, sans intégration, des équations différentielles ou aux dérivées partielles déduites d'autres en négligeant certains termes très petits relativement, et en n'utilisant les équations simplifiées que pour déterminer des signes de dérivées ou encore en restant dans un domaine assez petit. Les équations (5) et (10) ne nous servent dans les nos IV à VII qu'à trouver ces signes ou la grandeur relative des dérivées et le sens de la variation des fonctions h, q et de leurs dérivées.

Notons encore que les équations (5) et (10) peuvent donner lieu à diverses remarques concernant la courbure de ce que nous allons appeler l'onde-niveau ou l'onde débit, ou les parties de ces

(1) On le vérifie en remplaçant dans (5) w' h't par g'x, intégrant par rapport à x entre un maximum de h ou un minimum et un point d'inflexion voisin de l'onde niveau, et appliquant le théorème de la moyenne.

courbes où un des termes de (5) ou (10), le premier ou le dernier notamment, serait négligeable. Je ne m'y arrêterai pas. Considérons la fonction h = f(x, t); cette équation, pour chaque valeur de t, est, en coordonnées cartésiennes rectangulaires x, h, celle de la surface libre ou onde-niveau C'; pour une valeur de x, elle représente la courbe C, des niveaux en x, ou courbe des niveaux locaux (1).!

x', t

t', on ait h't

Supposons que, pour x = 0, c'est-àdire que h soit en x'un maximum ou un minimum local, de valeur h'. Si l'on envisage l'enveloppe des courbes C'1, elle touche au point P (x', h') l'enveloppée C'. Au temps '+dt, ce maximum ou minimum est venu en P', point tel que dh't

le niveau est

=

0, et où

La condition nécessaire et suffisante pour que le niveau du maximum ou du minimum se conserve est qu'on y ait à la fois quel que soit t

soit aussi constamment un maximum ou un minimum de l'ondeniveau l'enveloppe de celle-ci est une parallèle à Ox (1).

:

On peut vérifier qu'alors toutes les dérivées d'ordre quelconque de h en x et t s'annule; aux mêmes points. En effet, J2 h d'après (5),

s'y annule; le point P' satisfait à

(1) Nous aurons de même l'onde-débit ou l'onde-vitesse représentant à l'instant t la courbe des variations de q ou U en fonction de x, et la courbe des débits locaux ou des vitesses locales au point x, représentant la variation en ce point de q ou de U en fonction de t. On aura à distinguer les maxima et minima de ces ondes, c'est-à-dire ceux de h, q, U par rapport à x, et les maxima ou minima locaux, c'est-à-dire ceux de h, q, U par rapport à t. Une distinction analogue peut être faite pour toute autre fonction de x et t.