DES PONTS ET CHAUSSÉES AVIS Les manuscrits présentés pour l'insertion dans ces Annales sont soumis à l'examen d'une Commission dite Commission des Annales des Ponts el Chaussées. Cette Commission se réunit à l'École Nationale des Ponts et Chaussées, 28, rue des Saints-Pères. Membres de la Commission: M. KLEINE, Inspecteur général de 1re classe, Directeur de l'École Nationale des Ponts et Chaussées; Président. M. JACQUINOT, Ingénieur en chef, Inspecteur de l'École Nationale des Ponts et Chaussées, Secrétaire. MM. CHARDON, Conseiller d'État chargé des services du Personnel et de la Comptabilité. DREYFUS (Silvain), Inspecteur Général, Directeur de la navigation intérieure et de l'aménagement des eaux. DE JOLY, Inspecteur Général, Directeur des Ports maritimes. CONSTANTIN, Ingénieur en Chef, Directeur des Chemins de fer. MAHIEU, Inspecteur général; Directeur de la voirie routière. DEFLINE, Ingénieur en chef, Directeur des Mines. MM. ALEXANDRE ; CHARGUÉRaud; Meunier; LUNEAU; CRAHAY DE FRANCHIMONT, Schoendoerffer, Ribière, de VolontaT, COUSTOLLE, TourTAY, FONTANEILLES, MONMERQUÉ, Inspecteurs généraux des Ponts et Chaussées de 1re classe. ROBERT, Inspecteur général de 2o classe, Secrétaire du Conseil général des Ponts et Chaussées. MM. COLSON; LIMASSET; RESAL; BLONDEL; BONNET; DUSUZEAU; DESCUBES; IMBEAUX; LOCHERER ; LOCHERER; MESNAGER; MOURET; D'OCAGNE; PIGEAUD; SÉJOURNÉ, Professeurs à l'École des Ponts et Chaussées. MM. GOUPIL et THERON, Ingénieurs en chef des Ponts et Chaussées, Secrétaires-adjoints. NOTA: La Commission des Annales des Ponts et Chaussées n'est en aucune façon responsable des opinions émises et des théories développées par les auteurs; elle ne s'immisce pas dans les questions de priorité. N° 11 ÉTUDE Sur le mouvement graduellement varié non permanent et la propagation des crues Par M. Edmond MAILLET, INTRODUCTION Le sujet dont je m'occupe ici a déjà été envisagé par Kleitz (Annales des Ponts et Chaussées, 1877, 2o semestre; voir aussi Flamant, Hydraulique, 3e édition, 1909, p. 386) qui n'étudie guère en détail que les crues simples, ayant en une station un seul maximum de hauteur et un de débit (1). Sa première méthode est basée sur l'équation de continuité et le fait, résultant de l'expérience, de l'affaissement du débit maximum local, difficile à vérifier habituellement; sa deuxième méthode m'a paru laisser parfois à désirer au point de vue de la rigueur ou encore de la simplicité. Dans une note récente des Annales (V-1918, p. 197), j'ai repris sur d'autres bases, qui m'ont semblé plus certaines, la première méthode de Kleitz, de façon à la généraliser, en partant de la loi de Baumgarten, et non de l'affaissement du débit maximum local, en vue de rendre compte d'une série de phénomènes révé (1) Parmi les autres travaux relatifs à la question, je dois mentionner particulièrement ceux de M. Boussinesq (Essais sur la théorie des eaux courantes, p. 470 et suiv.; voir plus loin, no IV). Ann. des P. et Ch., MÉMOIRES, 1919-III. 20 lés par les études d'annonces de crues. Ici j'étudie la question dans l'esprit de la deuxième méthode, en négligeant les cas où l'équation (1), indiquée plus loin au no I, ne s'appliquerait pas (comme il peut arriver en cas de débordements). Je cherche d'abord (no I à III) à établir la validité, à l'instant, pour des cas étendus et fréquents sur beaucoup de cours d'eau (ceux en particulier où h≥ 1 m., 10 m., 0,00178 > i> 0,0001) d'une formule simplifiée bU2 — RI, (formule (4), no I, d. h , 0 < x < 1) du régime permanent, soit grâce = i dx à certaines hypothèses, soit d'après l'expérience. Une formule voisine moins précise se trouve déjà indiquée pour l'Ardèche dans un mémoire de M. Delemer (Annales, 1904 et Flamant, Hydraul., p. 406). Mais lui et M. Flamant ont contesté l'extension de celle-ci aux cours d'eau à pente moins forte, bien que beaucoup d'ingénieurs aient utilisé sans vérifications spéciales. pour le régime varié non permanent, au moins certaines formules du régime permanent, même en crues, comme cela m'est arrivé dans le service pour des réglementations d'usines, des calculs de remous et des jaugeages, des études de dérivation, etc. Dans tous ces cas, on opère sur une longueur modérée (quelques kilomètres). On conviendra que des vérifications numériques basées sur l'expérience, comme celles de M. Delemer pour l'Ardèche, ne sont pas inutiles pour justifier les simplifications précitées. Je puis alors former l'équation aux dérivées partielles qui détermine la hauteur h en fontion du temps t et du lieu x, et discuter géométriquement d'abord les variations de la surface libre que j'appelle onde-niveau, dont les maxima s'affaissent et les minima se relèvent (no IV), puis les variations locales des hauteurs à une station donnée x pour le cas d'une crue simple à cette station, et pour le cas notablement plus compliqué d'une crue multiple (n° V) : les maxima locaux principaux s'affaissent en se propageant. Je fais une étude tout à fait analogue pour les débits (no VI); puis, grâce à la formule (4), je précise encore plus (n° VII) la physionomie de l'onde-niveau et de l'onde-débit, de façon à montrer qu'elle correspond bien à peu près aux idées habituelles que l'on a. sur le phénomène général des crues que nous observons, et j'établis la loi de Baumgarten, au moins comme loi approchée. Le point de départ des discussions des nos III à VII est la considération des variations de h et q avec x à l'instant t, et non avec t à la station x. En terminant, je donne des indications sur le cas des petites crues assez lentes (no VIII), et je signale que la portée de certaines de mes méthodes est bien plus étendue, car elles peuvent s'appliquer, en partie au moins, à d'autres équations aux dérivées partielles, notamment dans la théorie des nappes souterraines. Certains de mes calculs, en petit nombre, ont été un peu compliqués par le fait que j'ai cherché à tenir compte des tendances les plus récentes des cours d'Hydraulique (Boussinesq, Flamant, Mouret), où divers coefficients sont fonctions de h. Je me suis attaché à n'introduire que des hypothèses aussi peu nombreuses que possible et vérifiées par une expérience répétée; à ce point de vue, l'étude des hauteurs, plus faciles à observer, offre une grande supériorité sur celle des débits. Le lit d'une rivière n'a pas toujours la régularité relative supposée dans mon étude; néanmoins les résultats que j'obtiens pourront fréquemment fournir des indications utiles, susceptibles au besoin d'être contrôlées. I Formules fondamentales. M. Flamant, dans son Cours d'Hydraulique (3e édition, Paris, Béranger, 1909, p. 386) indique comme équations aux dérivées partielles du mouvement non permanent, mais graduellement varié, dans les cours d'eau à lit imperméable, et non débordés, l'équation due à M. Boussinesq, et (p. 389), l'équation de continuité Soient T1, T,..., Ts, les cinq termes du troisième membre de (1). M. Flamant mentionne que, d'une façon générale, dans un mouvement assez graduellement varié pour que le mode de distribution des vitesses diffère peu de ce qu'il est dans le régime uniforme, les changements de forme de la section avec x étant assez lents, T, et même T, seraient négligeables, et a, pourraient être réduits à leurs valeurs sensiblement constantes correspondant à ce régime. Raisonnons d'abord sur les équations (1) et (2) sans simplification. Nous supposerons que l'on puisse regarder à peu près , %, R, b, a, n comme des fonctions de h seul, l'erreur ainsi commise étant de l'ordre des quantités négligées : c'est le cas de o, %, R, lorsque le lit est cylindrique, et de b, 2, 7, lorsqu'en outre le régime est uniforme. En vue de ce qui suit, nous aurons intérêt à transformer l'équation (1) de façon à faire disparaître le terme ǝ (U2), dont la détermination expérimentale approchée exige en d x deux stations de jaugeages successives. On a, d'après (2), |