luer les effets produits par ces forces, il faudra adopter pour fibre moyenne le segment O M de la bissectrice de l'angle au sommet 0, puis le segment N G de la bissectrice de l'angle formé par les côtés OA et B C. Ces deux éléments rectilignes seront raccordés par une courbe M N, au sujet de laquelle nous ne pouvons fournir aucune indication. Néanmoins nous en conclurons que la maçonnerie comprise dans le triangle mixtiligne UC V ne contribuera en rien à la stabilité, et pourrait être supprimée sans inconvénient.

Supposons que la hauteur du massif soit assez petite pour que le point de rencontre S des deux bissectrices se trouve reporté bien audessous de la base de fondation AB, que nous supposerons inébran

lable, comme celle fournie par un banc de rocher continu. Étant entendu que le poids propre de la maçonnerie est négligeable devant l'effort de renversement P, la fibre moyenne à considérer se composera de la bissectrice de l'angle O jusqu'à son point de rencontre M avec la section transversale passant par le pied A de la face pressée O A, puis d'une courbe convexe se terminant à la fondation. La région UCBV du profil ne contribue en rien à la stabilité, quelle que soit la grandeur de la force P.

Si cette force venait à croître indéfiniment, le massif se romprait suivant la section transversale AMU, qui est la surface de moindre résistance. Le triangle A O U serait arraché et repoussé en arrière. On constate ce mode de dislocation sur les trottoirs de la ville de Paris, quand la poussée du pavage en bois fait sauter leurs bordures. C'est là une conséquence de la rigidité du terrain de fondation qui fixe invariablement la position du pied A de la face pressée. Il n'en serait pas de même avec un sous-sol compressible ou glissant, ou bien avec une fondation sur pilotis. Du moment que, sous la charge P, la face OA pourrait reculer sur toute sa hauteur, la partie antérieure du mur

serait refoulée sur la maçonnerie d'arrière, et celle-ci entrerait en action. L'épaisseur AB à la basese calculerait alors d'après le coefficient de frottement du terrain, ou d'après la résistance de celui-ci à la compression horizontale.

C'est seulement dans le cas d'une fondation de tout repos qu'il convient de limiter l'épaisseur horizontale de façon que la fibre moyenne du massif soit la bissectrice de l'angle au sommet O.

Pour améliorer la stabilité de l'ouvrage, il faudrait non pas seulement allonger sa base, mais augmenter l'angle au sommet, ce qui conduirait d'ailleurs à faire croître l'épaisseur. Rien n'empêcherait au besoin de dépasser, en faisant monter la face supérieure de O vers C. On disposerait à cet égard d'une latitude illimitée, puisque la section de moindre résistance AMU s'étend jusqu'à l'infini quand l'angle O approche de î.

Considérons un butoir en maçonnerie, de hauteur h, qui soit soumis à une poussée horizontale P, dont la résultante passe à la cote b au-dessus du plan de fondation AB. Pour empêcher la maçonnerie de se décoller du rocher en A, nous nous imposerons la condition que le travail R soit nul au point en question, sans tenir compte du surcroît de stabilité que procure le poids propre de la maçonnerie. Cette condition s'exprime comme il suit, en désignant par 2 a l'angle au sommet A O C.

α

1

On en conclut que pour ¿ = h, il faudra prendre 2 a = 60o.

3

Dans le dernier cas, assimilable à celui d'un butoir de voie ferrée,

le bloc de maçonnerie. On ne tient pas compte des parties hachurées

AO' B' et OCB. Nous n'avons donc rien innové en opérant de même pour le calcul de la butée d'un barrage. Nous nous sommes inspiré des errements consacrés par la pratique des constructeurs des cas pour analogues.

Quand on applique une charge uniforme sur une région restreinte d'un plateau horizontal, il s'y produit une dépression élastique dont la concavité est tournée vers le haut dans toute la zone pressée A B (fig. 26).

Supposons que la charge, au lieu de porter directement sur le plateau, lui soit transmise par un pilier de hauteur notable. Pour que la pression à la base du pilier fût encore à répartition uniforme, il faudrait que sa face inférieure demeurât plane, et que par conséquent le plateau fût un solide invariable. Mais, par suite de l'affaissement élastique de celui-ci, suivant une surface concave, la réaction mutuelle du pilier et de son support ira en croissant depuis le centre de gravité de la base jusqu'à son périmètre (fig. 27).

Fig. 27.

B

Cette inégalité s'atténue d'ailleurs rapidement, et, à une faible distance du pied, la pression intérieure redevient sensiblement uniforme dans toute la section horizontale du pilier.

Admettons que la matière constitutive de celui-ci soit plus dure que celle du plateau. Si l'on fait croître indéfiniment la charge, il y aura pénétration du premier dans le second. Avec un pilier à

angles vifs, les sommets de la base marqueront tout d'abord leur empreinte. Avec un cylindre régulier, l'arête circulaire tracera un sillon dans le plateau.

Si au contraire le pilier est moins résistant que la fondation, il s'y produira des éclatements d'arête aux sommets du polygone de base. Dans le cas du cercle, la surface périphérique s'écaillera au pied.

Élargissons la base du pilier par une ceinture continue à profil triangulaire A CD (fig. 28). Cet appendice, doué d'une certaine flexibilité par suite de sa faible épaisseur verticale, épousera sans grande

་

résistance le profil concave de la dépression du plateau. Si l'on admet que le rayon de courbure de ce profil varie très peu de A en C, la pression croîtra linéairement de C, où elle sera nulle, jusqu'en A. La charge transmise par le pilier se répartira sur sa base élargie comme il est indiqué sur la figure.

Si l'on donnait à la ceinture un profil trapézoïdal (fig. 29), le résultat serait le même, à cela près que la pression ne serait plus nulle sur le contour de la base, puisque l'épaisseur de la ceinture n'y serait pas réduite à zéro.

La modification du pilier aura donc pour effet de diminuer le travail maximum de compression, et d'écarter de la périphérie son point d'application. On n'obtiendrait pas le même

résultat en augmentant le diamètre du pilier sur toute sa hauteur : les pressions sur la base seraient bien réduites proportionnellement, mais leur distribution demeurerait la même qu'avant.

Avec une charge désaxée (fig. 30), l'efficacité du dispositif serait encore plus marquée, grâce à la flexibilité de la ceinture, qui jouerait le rôle d'un ressort-étai.

Comme la fatigue maximum, par flexion, se manifestera à la jonction de l'appendice avec le pilier prismatique, l'épaisseur A D devra être déterminée en conséquence. Pour écarter tout risque de fissuration, il pourra paraître

Fig. 30.

judicieux de faire disparaître l'angle rentrant C, en raccordant les deux droites par un congé (fig. 31).

Ann. des P. et Ch., MÉMOIRES. 1919-II.

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1

Fig. 31.

Il est présumable que les constructeurs préhistoriques ont débuté par faire emploi, dans leurs édifices, de piliers nus à section carrée. Comme, sous une charge trop forte ou désaxée, il se produisait des cassures aux angles de la base, ils ont été conduits à abattre les arêtes du prisme et sont arrivés finalement au contour circulaire. Mais des dégradations se produisaient encore à la jonction du pilier, soit avec la platebande portée par lui, soit avec le rocher de fondation. Ils lui ont alors donné une forme nettement tronconique à large base, et ont d'autre part évasé le sommet, en forme de chapiteau. En dernier lieu, on en est venu au fût de la colonne grecque, à peu près cylindrique, mais en intercalant entre lui et la fondation un socle, et souvent aussi un piédestal de dimensions transversales encore plus grandes.

Les architectes se sont emparés de ces organes de stabilité pour en faire des motifs de décoration. Comme le public se montrait satisfait de leur initiative, ils l'ont étendue même aux cas où la résistance n'était plus en cause. C'est ainsi que dans une colonne isolée, que surmonte un trophée ou une statue, le chapiteau n'est là que pour le plaisir des yeux. On pourrait d'ailleurs multiplier de pareils exemples.

C'est là sans doute ce qui a engagé certains constructeurs modernes à revenir au pilier nu, dans des édifices utilitaires, où, tout souci d'esthétique étant banni, il paraissait licite d'écarter des accessoires coûteux que l'on considérait comme de simples ornements. Ce retour aux pratiques de l'antiquité la plus reculée ne leur a point porté bonheur. Les mécomptes éprouvés par les innovateurs les ont ramenés à la saine doctrine de l'épanouissement, au sommet et au pied, du pilier lourdement chargé. On a sans doute raison de maintenir la suppression du chapiteau dans les mâts isolés, pour distribution d'énergie électrique, qui ne portent presque rien, mais on leur conserve le socle évasé, à cause du vent, qui désaxe la charge. Considérons à présent un mur de

une loi représentée par une courbe sinusoïdale (fig. 32), qui a son