On voit que celles-ci se maintiennent entre nos deux formules maxima et minima, et que la formule médiane E donne bien une moyenne générale satisfaisante.

Mais pour éclairer tout à fait la portée de ces formules, nous avons marqué sur le graphique, en les désignant par des numéros suivant l'ordre des grandeurs, les grands ouvrages existants, et quelques-uns des plus connus ou des plus récents jusqu'à 30 mètres d'ouverture. Ils sont reportés avec leurs numéros, et plus amplement désignés dans le tableau VI. On voit aussi marqués sur le graphique par de simples points noirs, quelques exemples de moindre ouverture tirés des tableaux de J. DUPUIT.

Ce tableau apporte la preuve manifeste que les meilleurs constructeurs, comme s'ils s'étaient donné le mot, n'ont apprécié les épaisseurs qu'il fallait donner à leurs ouvrages, qu'en s'inspirant de la grandeur de l'ouverture, sans tenir compte du surbaissement; le sentiment de l'art les a donc guidés, comme si le danger que fait courir à la résistance de la voûte l'augmentation du rayon, et par suite de la pression due au surbaissement, était contrebalancée par celui qui résulte, pour la stabilité et surtout pour l'exécution de l'œuvre, de la masse que présente la partie active de la voûte; masse d'autant plus grande que l'intrados se relève et se rapproche davantage du plein cintre.

En tout cas, ainsi que l'écrivait déjà J. DUPUIT, « c'est un fait de pratique » et nous pensons que la suite des déductions, tirées des formules ci-dessus établies de la pression moyenne à la clef, donne aussi la preuve positive que cela est rationnel, pourvu qu'on ait l'attention, on ne saurait trop le répéter, d'y employer des matériaux d'une résistance suffisante.

GRAPHIQUE III. FORMULES PRATIQUES DE L'ÉPAISSEUR A LA CLEF, ET PRESSIONS RELATIVES AUX

TROIS FORMULES E POUR LES VOUTES EN PLEIN CINTRE

(Voir sur le tableau VI le nom des ouvrages correspondant aux numéros).

50K

Pression moyenne à la clefen Kilos par centum 2 pour les voutes en Plein Cintre

162m

TABLES.

Nous donnons à la suite du mémoire, la table des pressions moyennes à la clef relatives au plein cintre, suivant que les tympans sont remblayés ou élégis. Elle a été calculée avec la formule (14) de la section II du présent chapitre. C'est, à vrai dire, le complément du graphique II, qui est plus étendu qu'elle, mais moins précis.

Ce n'est pas toutefois, qu'il convienne d'accorder aux chiffres de la table une valeur absolue, car l'incertitude seule qui plane sur la valeur des pesanteurs spécifiques ne le permet pas; et si les pressions partielles y figurent avec deux décimales, c'est uni

quement en guise de vérification, par l'allure régulière des différences, de l'exactitude des calculs eux-mêmes.

En ce qui concerne les voûtes en arc de cercle ou en ellipse, il serait oiseux de produire un travail similaire. Il faudrait dresser une pareille table pour chaque surbaissement, et cela n'aurait guère qu'un intérêt de simple curiosité. Nous avons seulement fait suivre les tables du plein cintre, d'un tableau des valeurs de m et de m', avec en regard les formules correspondantes de la poussée, dans les deux cas de l'arc de cercle et de l'ellipse; elles y sont données pour les principaux surbaissements. Les formules se trouvent ainsi ramenées à n'avoir d'autre argument que l'ouverture D de la voûte; de sorte qu'elles fournissent en un instant les valeurs de la poussée et par suite de la pression moyenne, donnant par cela même la solution du problème de la résistance pour les voûtes de tout surbaissement.

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES

Nous terminerons ces recherches par quelques réflexions que commande, en quelque sorte, ce que le problème du calcul des voûtes a d'imprécis, comme nous le faisions ressortir dès le début.

On a vu que maintes fois nous n'avons pas craint d'envisager des voûtes dont la portée peut paraître excessive, au regard de ce qui a été fait jusqu'ici. La raison que nous en pouvons donner, c'est qu'il n'est pas impossible que, dans un avenir plus ou moins rapproché, l'on se trouve en face d'un tel problème. Nul ne sait quelle sera la durée des ponts métalliques; leur rôle peut n'être que provisoire pour la traversée des grandes coupures du sol, surtout dans les terrains rocheux d'une solidité certaine. On peut donc reprendre, avec d'autant plus d'à-propos, ce qu'écrivait déjà, il y a près d'un demi-siècle, l'Inspecteur général J. DUPUIT dans son Traité des voûtes, où nous avons cueilli Ann. des P. et Ch. MÉMOIRES, 1915-II.

26

encore quelques réflexions judicieuses (1), qui nous serviront de conclusions générales :

<«< Aucune considération théorique n'oblige les constructeurs à se maintenir dans les limites d'ouverture qu'ils s'imposent aujourd'hui. Les ponts en maçonnerie, qui l'emportent sur les ponts métalliques sous le rapport du caractère architectural, de la dépense de construction et de celle d'entretien, peuvent leur faire concurrence dans beaucoup de circonstances », mais il disait aussi, non moins justement : « La hardiesse des constructeurs a toujours été tempérée par les graves conséquences qu'elle pourrait avoir, et, il faut bien le dire aussi, par l'ignorance où ils étaient des véritables conditions d'équilibre des voûtes ». Et encore << La recherche de l'épaisseur à la clef est un problème semblable à celui de l'épaisseur à donner à un mur de clôture vertical.... plus un mur est haut, plus sa base doit être large, pour qu'une légère déviation du centre de gravité sous un effort transversal accidentel n'amène pas son renversement... » et de même «‹ une pression accidentelle sur une voûte a pour effet de déplacer la courbe des pressions dans l'épaisseur de la voûte; et par conséquent plus celle-ci est épaisse plus elle est susceptible de se maintenir en équilibre sous des charges accidentelles », mais par contre << En augmentant l'épaisseur à la clef on accroît le poids de la voûte et par suite la valeur des résultantes des joints, qui est égale à P2 + Q2. Il en résulte que cette épaisseur doit être réduite à ce qu'exige la stabilité de la voûte... C'est qu'en effet tout ce qui augmente le poids de la voûte nuit à sa solidité », et à celle de ses supports, ajouterons-nous, en achevant de transcrire ces remarques pleines de sens, qu'une grande expérience dictait à l'esprit observateur de cet Ingénieur émérite.

C'est là, en quelque manière, la philosophie du problème du calcul des voûtes. Nous n'y ajouterons qu'un mot, c'est que la

(1). Ce traité est plein d'utiles enseignements tirés de la pratique des constructions. On peut regretter seulement que l'auteur se soit laissé entraîner à des déductions théoriques contestables, en partant d'un fait d'observation qui n'est qu'approché et dont il tire, logiquement, des conséquences erronées quand même.