Il a donc disparu, en énergie vibratoire, chaleur, travail de déformation des parties heurtées et autres (1):

(1) La plus grande déformation, contrairement à ce qu'une analyse élémentaire pourrait faire croire, n'aura pas lieu forcément aux parties heurtées. La loi des dilatations est très complexe, surtout pour la barre fixe, et nous renvoyons pour les deux cas, (barre libre et barre fixe), à la lecture des mémoires originaux.

Comme dans tous les mouvements vibratoires et ondulatoires, dès que l'onde due au choc, se détachera du centre des ébranlements, son énergie totale se partagera également entre son énergie actuelle ou cinétique (vibrations, chaleur) et son énergie potentielle (déformations).

Il y a plusieurs cas à considérer, d'après la

0,579, ce qui sera toujours le cas, puisque le mouton doit avoir autant que possible un poids voisin, de celui du pieu.

Alors le choc se termine à l'instant (1) :

La vitesse finale étant V [(9) - f'(927)] d'après (54) et (55), on a, en substituant aux fonctions f', leurs valeurs données dans un tableau (2) la relation :

(1) Voir, pour ce cas, les graphiques de MM. de SAINT-VENANT et FLAMANT, loc. cit.

(2) CLEBSCH loc. cit., page 480 0. Il n'est pas possible de donner ici ce tableau, ce qui entraînerait trop loin.

v, est la vitesse finale du corps M à l'instant où le choc est fini, c'està-dire lorsque le centre de gravité de la barre heurtée a repris sa vitesse nulle, ce qui ne veut pas dire que les tranches de la barre soient revenues au repos (1). Mais comme à cet instant, il n'y a plus comme énergie translatoire que celle du corps M, la perte de travail ou d'énergie est :

(1) Pour la perte de force vive translatoire, il faut considérer les vitesses des centres de gravité des barres, et non des tranches, sans cela, on tombe dans l'erreur de CAUCHY (DE SAINT-VENANT, Journal de Mathématiques 1867). Voir aussi, à ce sujet, les études de M. DE MAUPEOU.

et par suite, on a comme travail disponible:

Dans la théorie classique, d'après (16), pour =0, on a

(36),

Ca 0,500 M H1

Ainsi pour

le cas ou M

P, les deux théories donnent la même valeur pour le travail disponible.

Comme nous avons indiqué qu'en pratique, on devra toujours chercher à réaliser cette condition, on pourrait considérer que la théorie classique donnera souvent une approximation suffisante et qu'il est par suite inutile de rechercher des théories compliquées pour aboutir finalement à un résultat presque identique. Ce serait une grave erreur, car il est au contraire remarquable que l'on arrive par une analyse plus serrée à une formule plus simple et cependant plus exacte, que la formule classique.

Il importe, toutefois de ne pas accorder, aux résultats obtenus par les théories nouvelles, un crédit illimité, car dans le cas qui nous occupe, il a été nécessaire de faire plusieurs hypothèses que nous avons indiquées, pour simplifier les équations, et l'équation (52) n'a pu être intégrée, en termes finis, qu'en ne tenant pas compte de la résistance du milieu. C'est là justement une infériorité marquée de l'étude dynamique.

D'ailleurs, tous les Savants ou Ingénieurs qui ont étudié la question complexe du choc, ont toujours eu soin de faire des réserves sur le degré d'exactitude des résultats obtenus par eux (1); mais il n'en reste pas moins une œuvre remarquable, qu'il importait de citer

(1) Comme le dit si bien M. DE MAUPEOU« Il est plus facile d'observer la nature que de la deviner ». Action comparée des forces sur les solides, 1902, page 73.

et qui conduit à une formule simple, suffisamment exacte pour le travail disponible et qui est celle que nous considérons devoir être adoptée à l'avenir.

9. Équation générale du travail de battage.

Considérons ce qui va se passer lors d'une chute du mouton, lorsque le pieu est fiché en terre d'une longuerr 7, très voisine de sa longueur totale L.

Pour cela considérons l'ensemble du mouton du pieu et du terrain et appliquons le principe de la conservation de l'énergie.

Soient, le travail initial ou travail moteur;

(— Ca) le travail absorbé par le choc ;

(.) le travail d'enfoncement du pieu;

e

(-) le travail équivalent à l'énergie cinétique communiqué sous forme vibratoire au terrain, puisque celle du pieu est comprise dans Ca.

Cp, le travail de la pesanteur.

On a, lorsque tout le système a décrit un cycle, en revenant au

repos :

D'où :

Ti + (-a) + ( − e) + ( − Cv ) + Ep = 0

Ce étant le travail disponible (1), d'où la relation :

Dans cette équation, on connaît à que nous avons précédemment déterminé, il suffit de déterminer les autres éléments Cp, C. et Ce.

(1) Cette relation montre l'erreur commise en prenant comme fait BRIX, ainsi que nous l'avons signalé, le travail utile, au lieu du travail disponible.