R l'autre, d la distance du point d'application de P au milieu de la section, donne les pressions horizontales sur le sol aux points A (Aa), B (Bb), d'une part, et verticale aux points B et C. D'autre part, il est très facile de construire la courbe des pressions à l'intérieur de la culée. Il suffit de choisir un certain nombre de sections I, II, etc., dans les parties de la culée où le calcul des efforts est manifestement intéressant et d'exprimer que la somme des moments des différentes forces qui agissent sur l'élément de culée au-dessus de la section considérée, I par exemple (poussée de la voûte, poids de la partie supérieure de la culée et du sol directement superposé, réaction du sol le long de AS,), est égale au moment de la résultante par rapport au point S, par exemple. Le premier membre de cette égalité ne renferme que des quantités connues, et le second membre ne renferme comme inconnue que la quantité S,O,, distance du point S1 au point de passage de la résultante, en observant que le moment de cette résultante est égal à la somme des moments de ses composantes horizontale et verticale. Le moment de la première est nul et le moment de la seconde est égal à S1O, multipliée par la somme des composantes verticales des différentes forces qui agissent sur la partie supérieure de la culée. Une fois la courbe des pressions déterminée, il devient facile de calculer par les méthodes ordinaires, en conformité de la circulaire ministérielle du 20 octobre 1906, le travail des armatures ot du béton dans les différentes sections. Les résultats de ces calculs sont résumés dans le tableau cidessous Les maxima réglementaires ne sont dépassés que pour le glissement dans les sections I et II, mais cela n'a pas d'importance, car les baries étant prolongées jusqu'aux extrémités du solide où l'effort tranchant est nul, le glissement ne peut avoir lieu. Enfin les pressions horizontales sur la face A B du sol sont : Au point A ....... 2k,74 par cm2 Au point B....... 0,67 par cm2 et les pressions verticales sur la face BC du patin. Au point B...... 5*,85 Au point C..... 0. Les coefficients de glissement étant égaux pour la face AB à 1/5 et pour la face BC sensiblement au même chiffre. Ann. des P. et Ch. MÉMOIRES, 1910-IV. 8 N° 49 SUR LE TRACÉ PRATIQUE DE CERTAINES COURBES TRANSCENDANTES UTILISABLES DANS LA CONSTRUCTION DES PONTS par M. Maurice D'OCAGNE, Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées. 1. Objet de cette Note. La présente Note vise principalement le tracé de la chaînette, mais la méthode indiquée s'applique, comme on le verra, à toute autre courbe transcendante présentant un axe de symétrie. Nous l'exposerons donc dans toute sa généralité puisqu'on peut être amené, le cas échéant, à recourir à certaines courbes transcendantes autres que la chaînette pour réaliser la fibre moyenne d'une voûte, ainsi que l'a fait voir M. Auric (1). Le problème géométrique qui se pose, dans ces applications, est le suivant : Tracer un arc de courbe transcendante à axe de symétrie, de type déterminé, dépendant d'un paramètre, cet arc ayant son sommet au point C, son axe en coïncidence avec la verticale Cy (1) Annales des Ponts et Chaussées, 2o trim. 1901, p. 246 (voir notamment p. 252). du point C et ses extrémités en des points A et B donnés symétriquement par rapport à Cy (Fig. 1). x Les droites A B et CH seront, selon le cas, la corde et la flèche de la fibre moyenne à réaliser, ou l'ouverture et la montée d'un intrados surbaissé, ou (la figure étant retournée) la corde et la flèche d'un câble de suspension. H1B et à un axe Cy en coïncidence avec CH, la courbe transcendante en question a une équation de la forme pétant le paramètre de la courbe, et la fonction f étant paire en æ, c'est-à-dire développable en une série de la forme Le problème ci-dessus posé revient donc, si l'on pose A B = 21 et CHh, à déterminer p de telle sorte que l'on ait Une fois la valeur de p tirée de là, on la porte dans (1) qui permet alors de calculer les ordonnées d'autant de points qu'on le veut de la courbe à tracer. Mais : 1o la résolution par rapport à p de l'équation transcendante (2) ne peut se faire que par approximations successives ('); (1) Voir la Note citée de M. Auric, p. 258. 2o une fois la valeur de p portée dans (1), le calcul des valeurs successives de y peut lui-même être assez laborieux. Or, on peut pratiquement rendre tous ces calculs inutiles en substituant à l'arc de courbe transcendante à tracer un arc de conique qui ne s'en écarte que de quantités absolument négligeables. Dans l'exemple numérique que l'on trouvera plus loin (No 4, A), par exemple, pour un arc de 40 m. de corde et de 5 m. de flèche, le plus grand écart entre l'arc de chaînette et l'arc d'ellipse qu'on lui substitue est environ de 0,005; au point de vue pratique, c'est comme s'il n'existait pas. 2. Rappel de quelques notions relatives aux contacts d'ordre supérieur. Rappelons que deux courbes ont, en un point, un contact d'ordre n si l'on peut considérer qu'elles ont en ce point n+1 points communs confondus, et le caractère analytique d'un tel contact consiste en ce qu'en ce point, où l'ordonnée y est la même pour les deux courbes, les n premières dérivées dy d2 y da y dxn de cette ordonnée ont également la même dx' d x 2' Si le nombre n + 1 des points communs aux courbes г et y est égal à celui des points par lesquels, vu son espèce, une de ces courbes, par exemple, est complètement déterminée, la courbe y est dite, pour cette espèce, osculatrice de la courbe r au point considéré. Soit, notamment, n = 1; une droite étant complètement déterminée par 2 points, la droite osculatrice en un point d'une courbe a avec elle un contact du premier ordre ; c'est la tangente. = Prenons, maintenant n 2; un cercle étant complètement déterminé par 3 points, le cercle osculateur en un point d'une courbe a avec elle un contact du 2° ordre; c'est le cercle de courbure. De même, pour n = 3, on aura la parabole osculatrice, ayant avec la courbe un contact du 3° ordre; pour n 4, la conique la plus générale osculatrice, ayant avec la courbe 4o ordre. un contact du |