si elle est analogue à celles de Leibnitz et de Lagrange, est si simple qu'elle ne peut devenir la source d'aucun embarras.

L'ouvrage de Coffin sur l'analyse vectorielle, qui date de 1909 et qui a eu une seconde édition en 1911, est certainement, à titre d'ouvrage élémentaire, de nature à faciliter l'étude de la nouvelle analyse et à en faire pressentir toute l'utilité dans les domaines de la géométrie, de la mécanique, et de l'électricité. C'est à J. Willard Gibbs. que l'on doit peut-être le meilleur exposé de la nouvelle méthode (1), exposé développé plus tard par M. E. B. Wilson (2). M. Coffin s'est surtout inspiré de ce dernier ouvrage sans toutefois, et avec raison, traiter la question trop abstraite des « dyads » qui le termine.

Grâce au traducteur, M. Véronnet, qui a substitué aux notations de Gibbs, une notation plus simple, empruntée à Massau, l'œuvre américaine a gagné en clarté dans le texte français.

Pour introduire les notions spéciales à l'analyse vectorielle, l'auteur use d'un artifice. Au lieu de les définir directement, il les tire de l'analyse ordinaire, en donnant aux symboles d'opération de cette analyse la valeur d'une quantité vectorielle. Par exemple pour définir le gradient, au lieu de le présenter comme le coefficient d'accroissement d'une fonction numérique, V, il écrit:

DV étant considéré comme le produit de l'opérateur D par la fonction V.

Si F est un vecteur, en considérant successivement les produits scalaires et vectoriels du vecteur fantôme D par le vecteur F, on obtient de la même manière les expressions de la divergence et du curl. Il est clair, par cette méthode, que l'étudiant déjà au courant des éléments de l'analyse ordinaire n'a pas de saut à faire pour s'introduire dans un nouveau domaine, mais la véritable origine et le véritable caractère des notions ainsi présentées sont masqués.

(4) J. Willard Gibbs : Elements of Vector Analysis, 1881-1884 (Collected Papers).

(2) Edwin Bidwell Wilson: Vector Analysis, à Text Book for the Use of Students of Mathematics and Physics, founded on the Lectures of J. Villard Gibbs, Professor of the Mathematical Physics in Yale University. NewHaven, U. S. A. 1893. La lecture de cet ouvrage est à recommander.

(3) x, y, z, représentent les directions des axes; on adopte plus généralement les lettres i, j, k, employées d'ailleurs dans le texte américain,

M. Coffin suit la même voie pour développer les expressions du gradient, de la divergence et du curl des sommes et produits; il admet encore que le symbole D peut être traité dans le calcul comme l'un des facteurs d'une somme ou d'un produit de deux ou trois facteurs, et semble considérer cette proposition comme évidente, quoique assurément elle exige une démonstration rigoureuse. La méthode est simple, mais elle a l'inconvénient d'apparaître comme un artifice de calcul, et l'on gagnerait, au point de vue de la véritable entente du sujet, à la remplacer ou à la compléter par des démonstrations géométriques plus instructives.

D'une manière générale, les théories vectorielles seraient éclaircies en les illustrant par la cinématique des corps déformables, laquelle fournit la meilleure représentation des propriétés des fonctions dans l'espace, et en premier lieu des fonctions linéaires qui sont à la base de la physique mathématique.

La première partie de l'ouvrage est consacrée aux généralités, exposées d'une manière claire, simple et brève. L'auteur y définit d'abord les opérations élémentaires sur les vecteurs, additions et produits de diverses sortes, ainsi que les théorèmes auxquels donnent lieu les produits de plus de deux facteurs; il termine par des applications géométriques et mécaniques simples. Il traite ensuite des coefficients différentiels et des intégrales spatiales, avec applications simples à la géométrie et à la mécanique, et démontre les théorèmes généraux qui se rapportent à ces expressions (théorèmes de Stokes, d'Ostrogradsky, d'Euler, de Taylor, etc.). Ce sont là les chapitres les plus importants de la première partie.

La seconde partie de l'ouvrage, et non la moins intéressante, est consacrée aux applications assez étendues à l'électricité, à la mécanique et à l'hydrodynamique. Elle double l'utilité du livre.

Ajoutons que les différents chapitres sont terminés, suivant l'usage, par les énoncés de nombreux exercices et problèmes.

Un appendice qui n'a pas été reproduit dans la traduction française, contient l'exposé des différents systèmes usités pour les notations vectorielles, et un recueil des formules principales.

L'ouvrage très élémentaire dont nous rendons compte est certainement, à notre connaissance, l'un des meilleurs que l'on puisse recommander à l'ingénieur ou à l'étudiant qui veut rapidement s'initier aux méthodes de l'analyse vectorielle, et en faire l'emploi dans les questions qui peuvent l'intéresser (résistance des matériaux, hydrodynamique et hydraulique, etc.).

On doit remercier M. Véronnet et l'éditeur Gauthier-Villars d'avoir mis à même le lecteur français de prendre facilement connaissance de l'oeuvre du savant professeur américain.

N°

12

COMPTE RENDU DES PÉRIODIQUES

Périodiques français par MM. G. MOURET et A. GOUPIL, Ingénieurs en Chef. Périodiques étrangers, par MM. A. GOUPIL et THERON, Ingénieurs en Chef. Électricité appliquée, par M. BLONDEL, Ingénieur en chef.

Annales de Physique (janvier-février 1917). - Edmond CHARRON: Théorie de l'archet. L'auteur, assisté des conseils de M. Bouasse, a étudié l'entretien des mouvements vibratoires par un archet colophané, il fait osciller d'abord un disque évidé en laiton dont l'axe mobile est prolongé par un fil d'acier tenu par une pince, l'archet tournant étant un second disque parallèle pouvant être amené au contact avec le premier. Le frottement est indépendant de la vitesse lorsque l'archet n'est pas colophané; dans le cas contraire, il devient une fonction rapidement décroissante de la vitesse fo B B+V.

V. f

=

Dans la deuxième partie de son travail il étudie la vibration des cordes sous l'action de l'archet en photographiant des instantanés des cordes, il retrouve les conclusions d'Helmholtz et représente les mouvements des cordes par une série de Fourier faisant ressortir l'amplitude décroissante des différents harmoniques. Sa discussion envisage les diverses positions de l'archet par rapport à la longueur de la corde, les divisions étant aliquotes ou non, l'influence de la pression et de la vitesse sur la fréquence, etc...

Atti del R. Istituto Veneto T. LXXIV) et Genio Civile (nov. 1916). Prof. L. Rossi: Sur les conditions de stabilité des murs à larges ouvertures. L'auteur considère d'abord un mur composé d'assises horizontales superposées et supposant l'existence d'une crevasse médiane, il trouve que le mur reste soutenu si la hauteur ne diminue pas au-dessous de limites déterminées analyti

quement. Prenant ensuite un mur en maçonnerie de brique à pierre sèche, il indique les résultats de quelques expériences: sur deux pleins cintres, ayant respectivement 1 m. et 2 m. d'ouverture, ont été construits des murs de brique de 0 m. 40 d'épaisseur atteignant. la hauteur de 3 m. L'enlèvement des cintres ne donna lieu à aucun mouvement et lorsqu'on enleva les assises supérieures de brique les mouvements commencèrent quand la hauteur de mur fut réduite à 1 m. au-dessus de l'intrados.

Le cas moins simple d'un mur à mortier est considéré comme intermédiaire entre les cas précédemment analysés. L'auteur déduit des conclusions d'une valeur pratique pour les murs percés de larges ouvertures et soutenus par des piédroits suffisamment stables pour ne subir aucun tassement. Dans les conditions les plus défavorables, l'architrave posé sur l'ouverture n'aura à supporter que le poids d'un prisme isocèle dont la base coïncide avec la largeur de la base et dont la hauteur est le 1/3 de cette largeur.

C'est donc une pratique non justifiée que d'élégir les muraillements élevés portés sur des arcs ou des architraves en y pratiquant des ouvertures exprès; il est préférable que ces murs soient le plus possible continus et compacts. Un exemple classique est fourni par le Palais des doges à Venise.

II. MATÉRIAUX ET PROCÉDÉS GÉNÉRAUX DE CONSTRUCTION.

Le « Woolworth Buil

Le Génie Civil (Paris, 10 mars 1917). ding» et les « gratte-ciel » de New-York. L'étude du Génie Civil comprend d'abord l'historique du développement des hautes maisons de New-York, suivie d'une description détaillée de la construction du plus récent des « gratte-ciel », qui constitue la maison la plus haute du monde entier : le Woolworth Building, ainsi appelé du nom de son propriétaire.

Ce bâtiment a une hauteur totale de 240 m. 50, et comporte 55 étages: il occupe une superficie de 46 m. 35 X 60 mètres.

Le bâtiment affecte en plan une forme en U; les deux ailes, de 18 m. 30 de largeur et 33 m. 50 de longueur, sont séparées par une cour intérieure de 10 m. 65 × 29 m. 25, ne commençant qu'au quatrième étage. Au-dessous de ce niveau, le bâtiment occupe la superficie entière du plan.

Les ailes ne s'élèvent que sur une hauteur de 30 étages. La partie centrale du bâtiment se prolonge sur 25 étages, formant ainsi une tour ayant une section de 25 m. 60 × 26 m. 20 ; la charpente de cette tour part d'ailleurs de la base même du bâtiment, comme le mon