et lorsque la hauteur d'eau sous le fond du bateau est égale ou inférieure à 1 m.

k, le coefficient de résistance relatif à la forme de carène qui varie de 1,7 à 3,5.

A le coefficient relatif à la viscosité et aux tourbillons, pour le fond il varie suivant l'épaisseur du matelas d'eau comprise entre 0,25 et 1 m., de 0,14 à 0,25. Avec un fond de bois, il est beaucoup plus élevé.

v, est la somme de la vitesse de marche et de la vitesse du courant latéral de reflux. Cette dernière, v, s'obtient en tenant compte des

principaux éléments de la section transversale v

v (a + aồ)

A

(a ad

Il faut noter que cette formule ne renferme pas de coefficient relatif à la nature et à l'état des parois du canal ni à la forme du profil mouillé.

L'auteur considère l'application des résultats précités au canal de Milan à Lodi qui doit être le premier tronçon de l'artère navigable de Milan à Venise.

Les expériences de de Mas ont montré qu'un convoi de quatre chalands réunis à distance d'une longueur rencontrait une résistance totale à peu près égale à la somme de leurs résistances isolées. Cette résistance est réduite de 10 % à 16 °。, si la distance est réduite à 12 m. et la vitesse portée de 0,50 à 2 m. par s.

Des résultats d'expériences faites sur le canal Dortmund-Ems avec de grands bateaux de 600 t., Haack a déduit que pour des espacements. supérieurs à 40m la résistance d'un cenvoi est égale à la somme de celles des unités et que l'augmentation des distances n'a qu'une répercussion insignifiante.

Il semble établi par les expériences de l'Institut expérimental de Berlin que quand la distance est petite, le premier bateau rencontre une résistance moindre que s'il naviguait isolément et moindre aussi

que celle des bateaux suivants. L'onde de proue du second bateau entre alors dans la dépression de poupe du premier, la vitesse du contrecourant est réduite, d'où relèvement du bateau et diminution de la résistance due au tourbillonnement sur le fond.

Il y a au contraire augmentation de résistance pour les bateaux suivants, plus forte pour le 3e que pour le 2e et pour le 4° que pour le 3o. Quand le nombre des bateaux augmente encore, la résistance totale du convoi finit par être plus grande que la somme des résistances afférentes à chaque unité prise isolément.

La rencontre et le croisement des bateaux donnent lieu à des constatations intéressantes; en général, les bateliers sont portés à ralentir leur marche dès qu'ils s'aperçoivent à distance. Il semble que sur des canaux à trafic intense, un pareil ralentissement entraîne une sérieuse perte de temps et puisse être évité bien souvent. C'est l'opinion de Krey que s'appuie sur de nombreuses expériences faites au laboratoire technique de Berlin, il suppose d'ailleurs des canaux de forme convenable et un personnel expérimenté. L'auteur trouve excessif l'optimisme de Krey et considère le ralentissement comme prudent dès que la vitesse dépasse 5 kil. De même pour les passages dans les courbes et pour les dépassements, par exemple par un bateau à

moteur.

N° 11

BIBLIOGRAPHIE

J. G. COFFIN

Calcul vectoriel

avec applications aux mathématiques et à la physique (1).

Traduction et notation française

par A. VÉRONNET (2).

Compte rendu par M. G. MOURET,
Ingénieur en chef des Ponts et Chaussées.

Dans les sciences mécaniques et physiques, les quantités que l'on considère, déplacements, vitesses, accélérations, forces, potentiel, température, densité, induction, etc. dépendent de la position de points dans l'espace; d'autres, travail, flux, circulation, débit, etc., sont des intégrales de lignes, de surfaces ou de volumes, et se rattachent par là aux premières. L'étude générale de ces sortes de grandeurs constituerait à elle seule, une branche des plus importantes de l'analyse mathématique, dans laquelle elle est en réalité confondue avec d'autres études, qui n'ont ni grande importance, ni grande utilité au point de vue de l'ingénieur et du physicien. Depuis quelques années cependant, l'analyse des grandeurs en question tend à se constituer en un corps de doctrine spécial, sous le nom d'analyse vectorielle, bien que les vecteurs ne forment que l'un des éléments de cette analyse, où l'on considère également des quantités numériques sans

(1) Joseph George COFFIN: Vector Analysis, an Introduction to vectormethods and theis various applications to Physics and mathematics. Seconde édition, New-York, John Villey and Sons, 1911.

(2) Paris, Gauthier-Villars, 1914. Prix: 7 francs 50.

sens ni direction. Ce qui a aidé à cette dissociation, ce n'est pas tant le besoin de fournir aux physiciens un outil approprié à leurs besoins, que la méthode nouvelle impliquée par le mot vectoriel, méthode qui a pris naissance elle-même dans les pures spéculations mathématiques -de Grassmann et d'Hamilton. De la sorte, il semble que l'analyse en question soit caractérisée par sa méthode et ses symboles spéciaux, plus que par son objet propre qui est l'étude des grandeurs physiques. Aussi l'intérêt se porte-t-il actuellement surtout sur la méthode; il se concentre même sur le symbolisme quoiqu'il n'y ait là qu'un côté, et, à certains égards, un petit côté de la question.

La véritable utilité de l'analyse vectorielle est de débarrasser les sciences mécaniques et physiques de considérations d'ordre purement mathématiques associées trop intimement aux considérations physiques, de sorte qu'on n'y distingue plus bien ce qui est du domaine des sciences naturelles, et ce qui est du domaine purement mathématique. C'est aussi d'apporter une certaine simplification dans les sciences physiques, en évitant la répétition de théories qui, au fond, sont identiques, de théories qu'après avoir étudié par exemple dans les transformations de figures, on rencontre, toujours sous la même forme, dans la cinématique des corps déformables, puis dans l'élasticité, dans l'hydrodynamique, dans l'optique, l'électricité, etc. C'est de permettre d'avoir, par conséquent, une vue plus claire et plus distincte du phéno

mène naturel lui-même.

Quant à la méthode de l'analyse vectorielle, d'où celle-ci tire son nom, elle n'est pas nouvelle. C'est celle des anciens, systématisée; c'est un peu celle de Poncelet, c'est surtout celle de Poinsot. Lorsque l'analyse ordinaire s'attaque aux quantités dirigées, par exemple, elle les décompose en éléments de directions invariables suivant une méthode qu'on attribue à Descartes, de manière à ramener le calcul de ces quantités à celui des quantités purement numériques. Elle cherche aussi à éviter le plus possible les représentations concrètes; les traités de mécanique ou de géométrie conçus à ce point de vue, et ce sont actuellement les ouvrages classiques, ne contiennent pas de figures.

Tout autre est l'esprit de l'analyse vectorielle; loin d'éliminer le caractère concret des quantités considérées, elle le conserve, au moins en ce qui a trait à l'espace; elle raisonne, non sur des éléments fictifs des grandeurs considérées, mais sur les grandeurs elles-mêmes.

Onadit que le calcul vectoriel ne consiste qu'à indiquer par une seule lettre une expression complexe; on pourrait dire aussi que le système ordinaire consiste à indiquer un tout par une expression complexe. En réalité l'analyse vectorielle, dans son véritable esprit, tend à diminuer la part du symbolisme pour y substituer la clarté géométrique. Elle apporte, d'ailleurs, la simplicité en diminuant le nombre des sym

boles; pour exprimer, par exemple, les équations du mouvement des fluides parfaits, elle n'exige qu'une équation unique composée de trois termes, alors que les formules des analystes se composent de trois équations, de quinze termes et d'autant de signes.

Ce qu'on pourrait reprocher à l'analyse vectorielle, dans son état actuel, c'est de ne pas posséder l'uniformité de méthode de l'analyse ordinaire, dont la mécanique analytique de Lagrange est un type classique à ce point de vue elle perd, dans les travaux de recherches, certains avantages, mais elle reprend la supériorité quand il s'agit, les résultats obtenus, d'exposer ces résultats sous une forme simple, comme d'éclairer la suite des raisonnements. Son importance est donc très grande au point de vue didactique: elle est, au premier chef, une méthode d'enseignement; donc elle est celle qui convient à l'ingénieur, et d'une manière générale, au praticien désireux d'apprendre rapidement et aussi de voir clair devant lui avec le minimum d'effort. C'est pourquoi nous avons jugé utile de publier dans ce recueil, un compte rendu du plus récent des ouvrages consacrés à l'analyse vectorielle.

Il faut bien reconnaître que, malgré ses avantages, cette analyse n'est pas entrée dans l'usage courant. Les ouvrages classiques sur la mécanique et la physique consacrent bien un chapitre du début à l'exposé très sommaire de quelques définitions et de quelques théorèmes sur les fonctions vectorielles, mais dans la suite de ces ouvrages il n'en est plus guère question, et le système cartésien règne sans partage.

Il est sans doute difficile de revenir sur des habitudes de calcul acquises de longue date, cependant l'esprit de tradition n'explique pas ce retard dans la diffusion ou l'utilisation d'une méthode qui présente tant d'avantages. Il semble que ce qui a surtout compromis son succès, c'est d'une part les complications dont elle a été entourée à l'origine et la manière dont elle a été présentée, très nuageuse et métaphysique par Grassmann, très abstraite par Hamilton.

C'est, d'autre part, l'abus d'un symbolisme nouveau, et nullement indispensable, chaque auteur, en outre, adoptant un symbolisme qui lui est propre.

En réalité, l'analyse vectorielle peut être exposée et employée sans symbole véritablement nouveau; ce n'est pas qu'elle ne comporte des combinaisons, telles que les produits scalaires et les produits vectoriels qui n'ont pas d'analogue dans le calcul des quantités numériques, mais le plus souvent, le cours du raisonnement fait connaître la nature des produits considérés, et une notation spéciale, même simple, est généralement sans utilité. Quant aux coefficients différentiels des quantités dans l'espace, le gradient, la divergence, le curl, la notation,