N° 2 AU SUJET DE LA DISTRIBUTION DES VITESSES DANS LES TUYAUX PAR M. BUTAVAND, Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées I. L'expérience montre que les vitesses d'écoulement aux différents points d'une section droite dans un tuyau varient avec la distance à l'axe, où se produit un maximum; le minimum correspond au voisinage de la paroi. Les points représentatifs dessinent une courbe symétrique par rapport à l'axe, ayant un sommet sur celui-ci et deux autres, un de chaque côté, aux environs des parois. Dans la recherche d'une formule empirique traduisant ces résultats il est naturel de s'adresser aux courbes géométriques les plus simples parmi celles qui satisfont aux conditions extrêmes. Après avoir préconisé des paraboles d'ordre supérieur qui ne comportent pas de sommets latéraux, M. BAZIN est arrivé à une ellipse correspondant à la formule : M. MOUGNIE a fait connaître (1) que la variation de la vitesse peut être représentée plus exactement encore par une formule cycloïdale, correspondant à une courbe qui dérive d'une cycloïde par modification semblable des ordonnées, et qui a son point de rebroussement sur la paroi. Cette formule donne en effet, par comparaison avec neuf séries de mesures, un écart moyen de 0,0041, notablement inférieur à celui qui résulte de l'application de la formule de BAZIN (0,51). Toutefois celle-ci correspond à des opérations de calcul beaucoup plus simples que la formule cycloïdale qui comporte la résolution d'équations transcendantes, et dès lors il ne semble pas que cette dernière doive lui être préférée dans la pratique. II. - La formule cycloïdale est d'ailleurs intéressante, notamment au point de vue suivant. Au lieu de rechercher directement, pour représenter les phénomènes, des courbes correspondant à la forme désirée, on peut envisager le problème au point de vue différentiel, par la considération des tangentes aux limites. Dans le cas présent, la courbe étant symétrique par rapport à Oy, l'équation cherchée peut être mise sous la forme : f(y) étant une fraction qui pour xo, yo est nulle, et qui pour x=r y= У V V1 U (V1 = vitesse à la paroi), est infinie. La forme la plus simple d'une fonction qui remplit cette double condition est la fraction du premier degré : (1) Annales des Ponts et Chaussées, 1915, VI, p. 303 et suivantes. (1) Cette équation est de la même forme que (1), et elles sont iden tiques si la constante z est prise égale à (2)*, avec η = 2μ ου La loi cycloïdale correspond donc à l'équation différentielle la plus simple pour satisfaire aux limites, et elle exprime ce fait que le carré de la variation relative de la vitesse, et la vitesse elle-même, sont, chacun à un terme constant près, en raison inverse l'un de l'autre. On voit facilement en effet que la formule (2) se ramène à : III. L'examen du diagramme donné par M. MOUGNIE dans la figure 4, page 320, de son mémoire, où l'échelle des ordonnées est double de celle des abscisses, permet aussi de constater un fait d'une certaine importance au point de vue pratique : la courbe cherchée est très voisine de l'arc de cercle tangent à Ox à l'origine et passant par le point x=1,00, y = 0,4260; le calcul montre que le rayon est égal à 1,0128. Par suite on peut Cette formule, qu'on peut appeler circulaire, est assez analogue à celle de BAZIN; elle donne lieu à des calculs simples. Elle fournit une approximation qui est dans l'ensemble du même ordre, et même un peu meilleure, que celle de la formule cycloïdale, le montre le tableau suivant : ainsi que La formule (3) est très facile à construire: elle exprime sim plement que V V est la moitié de l'ordonnée du cercle de rayon 1.0128, par rapport à une de ses tangentes. Elle correspond à une valeur de b égale à celle du cas vérifié par M. MOUGNIE : b= 0,000332, b = 0,0182. Il est aisé de x= (4) La formule circulaire présente l'avantage d'être très approchée pour la région périphérique, à partir de r = 0,75 inclusivement. Elle donne en effet pour les quatre dernières observations un écart moyen de 0,0027, alors que la formule cycloïdale donne 0,0060, la formule elliptique de M. BAZIN, 0,0077, et la formule parabolique à trois termes, 0,0145. Pour la partie centrale, x0,75, la meilleure de toutes les formules est cette dernière, qui donne un écart moyen de 0,00305, puis viennent : la formule cycloïdale, 0,0032, la formule elliptique, 0,0036, et la formule circulaire, 0,0039. CHRONIQUE N° 3 STATISTIQUE DE QUELQUES USINES HYDRO-ÉLECTRIQUES EN CONSTRUCTION OU RÉCEMMENT CONSTRUITES EN SUISSE Renseignements recueillis par M. AURIC, Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées, à l'occasion d'un voyage d'études en Suisse où il a pu visiter les chantiers d'Eglisau, sur le Rhin et d'Olten-Gæsgen, sur l'Aar. |