Cette équation diffère de la formule d'Euler par suite de la présence du terme 0,267 qui intervient ici parce que les charges Qu, sont réparties le long du pieu et que, en les groupant avec R,, c'est-à-dire en les faisant agir à la pointe, c'est comme si l'on avait introduit pour chaque force telle que Qu, agissant en C, deux forces égales et opposées à Qu, agissant en B; d'où pour chaque force Qu,, une force Qu, agissant en B et un couple agissant en sens inverse de la flexion dont le moment résultant serait 0,267 2, tandis que les forces Qu, donnent la résultante R, agissant en B.

Si, comme dans le cas généralement étudié, la charge R' n'agissait qu'à l'extrémité, d'où, absence du terme en ¿, l'équation (q) donnerait la formule d'Euler, comme cela doit être. L'équation (q) est donc bien générale.

Ceci posé, prenons un cas limite supposons que l'on néglige le terme en 【 ainsi que le premier terme ou terme d'Euler, qu'en plus on fasse b=0, l'équation (9) devient :

0,20,

Prenons maintenant les valeurs minima n = 1, d= 1 = 4, σ = 0 k. 1, ce qui correspond à de la vase fluide et 1 = 2, on a :

R' = 0,184 × 107 × 0,20 × 40,1

21.177.600 kg.

Ce résultat montre d'une façon précise qu'il ne peut y avoir flambage, dans aucun cas, puisque dans aucun cas limite comme celui qui a été adopté, on a une charge qui dépasse de beaucoup, même avec un coefficient de sécurité élevé, les charges théoriques (voir tableaux de mon premier mémoire), donc, a fortiori, les charges pratiques données par l'équation (1) du § I de cette

note.

2e cas.

Pieu articulé aux deux extrémités.

Ce cas est pratiquement réalisé lorsque les extrémités du pieu, dans sa déformation, restent toujours sur la même verticale, ce qui arrive lorsque la pointe du pieu rencontre le solide et que les encastrements aux deux extrémités sont imparfaits.

Les conditions imposées aux extrémités, en prenant comme origine des coordonnées l'extrémité supérieure, sont ici que

pour x = 0 et x = l, on doit avoir y = 0,

dy+0 et

dx

da y

dx2

0, puisque le moment de flexion est nul aux deux extrémités; et la forme d'équilibre la plus générale correspondant à y = Σa¡ qi (x) est donnée par l'équation suivante qui satisfait à ces conditions: (10)

L'équation d'égalité, entre le travail des forces extérieures et les travaux moléculaires, reste la même que dans le premier cas, comme on le vérifie aisément, donc l'équation (7) s'applique.

dy day

Remplaçant y, dd, par leurs valeurs respectives déduites

dx'

de (10) dans (7), on obtient après intégration l'équation générale suivante :

Si on limite la série (10) à ses deux premiers termes, l'équation ci-dessus (11) prend la forme simple:

avec: (K)=107 (a+b)
107((a+b) obtenue en faisant æ=

dans (4).

Il est aisé de tracer la courbe des variations de R' avec z, d'après l'équation (12), car on sait que cette courbe a l'allure indiquée dans la fig. 11, l'abscisse du point A, correspondant au minimum R'm de R", étant donné par l'équation :

Pour z=∞, on a R' => R', mais la différence R'. — R′„ R'a- R'm

a

est relativement peu importante, l'erreur relative étant de 1/10°, comme on le voit d'après le tableau I ci-après établi avec les données générales suivantes :

et les données particulières pour l et d indiquées au tableau. D'ailleurs pour les deux premiers termes de la série (10), on a très sensiblement, quels que soient et d:

d'où une erreur relative par excès de 1/10° environ en prenant

Au lieu de prendre les deux premiers termes de la série, prenons seulement un seul terme, c'est-à-dire prenons comme forme d'équilibre:

Or, on voit que, pour m = 2, cette équation donne : R' =

4

et de plus pour m = 3, on obtient une valeur de R' inférieure à toutes choses égales par ailleurs, comme l'indique le tableau I suivant.

4

1o que la charge limite ou minima diminue lorsqu'on ne prend qu'un seul terme de la série (10), auquel cas on a comme charge limite la valeur de R' donnée par l'équation (13) ;

2o que si l'on prend les deux premiers termes de la série, on a une charge limite très peu inférieure à celle qui est donnée en ne prenant que le deuxième terme, mais de beaucoup supérieure à celle que l'on obtient si on ne prend que le troisième terme.

Il apparaît donc une loi aisée à saisir et qui est la suivante : si on limite la série à un terme quelconque, la valeur de la charge limite sera toujours supérieure à celle qui correspond au cas où l'on prend le terme de la série venant immédiatement après le terme auquel on s'est arrêté, et ceci est absolument exact si on limitait la série aux coefficients m impairs, c'est-àdire si l'on supposait que les seules formes d'équilibre à admettre ont un nombre impair d'ondes.

En conséquence de ce qui précède, il résulte que pour avoir la charge limite, on peut prendre, avec une approximation suffisante. en pratique, un seul terme de la série (10), soit adopter pour y l'équation (13), et la charge limite est alors donnée par l'équation (14).

Donc à chaque valeur de m, correspond une valeur limite de R' donnée par (14). Mais, parmi toutes ces valeurs limites ou minima de R', celle qu'il faut choisir pour avoir l'équilibre stable est la valeur minima minimorum, ce qui aura lieu lorsque m

aura une valeur telle que l'on ait

de cette dernière condition:

d R'
dm

=

0 et on déduit aisément

Or les valeurs de m doivent être entières et par suite deux

cas sont à distinguer :

1o La valeur de m obtenue avec (15) n'est pas un nombre entier, ce qui sera le cas le plus général; soit alors m', m", les deux nombres entiers comprenant la valeur de m, on substituera ces deux valeurs dans (14) et on prendra pour R' la plus petite des deux valeurs.

2o La valeur de m obtenue avec (15) est un nombre entier,