Ce sont les résultats que donnent les formules complètes, ainsi d'ailleurs que les formules spéciales relatives au cas des plaques chargées sur toute leur surface.

Il faut exclure cependant d'une manière générale les cas où v, tout en demeurant inférieur à b, dépasserait a, car les développements des fonctions ne seraient plus légitimes.

Ces formules simplifiées fournissent aisément les limites vers lesquelles tendent Xa et X, lorsque, la charge P = pu v demeurant constante, le rectangle d'application de cette charge tend vers zéro, c'est-à-dire lorsque l'on a affaire à une charge concentrée théorique. Ces limites sont :

Ces formules ne concordent que pour la plaque carrée avec les formules spéciales données dans l'Avis du Conseil dans le cas de charges concentrées. A la limite, pour b

Р

elles con

duisent toutes deux à la même valeur (comme dans le cas de la

4

plaque carrée), tandis que les formules spéciales donnent

Cette discordance serait facile à lever par la mise au rebut des formules spéciales, que M. Résal n'avait d'ailleurs proposées que «< comme un pis-aller provisoire », et par l'emploi exclusif des deux formules limites qui précèdent. Celles-ci auraient d'ail

leurs l'avantage d'inciter les constructeurs à faire des armatures égales dans les deux sens, même lorsque la plaque est indéfinie dans un sens.

Mais ces formules limites, aussi bien que les formules spéciales au cas de la charge concentrée, ont un défaut¿qui nous a paru très sérieux. Elles assignent des valeurs finies pour Xa et Xь, toujours les mêmes, quelles que soient les dimensions absolues des plaques. Autrement dit, une charge qui agirait sur un rectangle considéré comme infiniment petit produirait les mêmes effets au centre d'une plaque de 1 m. de côté, ou au centre d'une plaque de 100 m. de côté, les épaisseurs restant les mêmes dans les deux cas. Il paraît bien difficile d'accepter cette conséquence, dont certains constructeurs pourraient être tentés d'abuser.

Il n'est pas douteux pour nous, surtout en lisant la page 494 du rapport annexe de M. Résal, que ce dernier n'avait en vue que des plaques de dimensions très modérées car dans ces conditions la grandeur absolue de la zone d'application de la charge ne pouvait pas être considérée comme infiniment petite au regard de l'étendue de la plaque, mais restait de l'ordre de grandeur du dixième par exemple. Il serait dangereux de calculer des dalles de 5 à 10 m. de côté comme soumises aux mêmes efforts que des dalles de 1 m. seulement de côté.

Cela ne veut pas dire évidemment qu'il faut s'opposer systématiquement à l'exécution de grandes dalles. Celles-ci paraissent au contraire avoir de grands avantages, et la matière utilisée dans les nervures d'un quadrillage serré peut être plus avantageusement employée au renforcement de la dalle elle-même. Mais ce qui apparaît c'est l'utilité de calculer les grandes dalles d'une manière de plus en plus rigoureuse, et pour le faire il faut prendre le parti de renoncer à toute formule empirique et de recourir franchement à la théorie élastique des plaques minces.

Nous ne méconnaissons pas les défauts théoriques qui subsisteront dans cette application elle-même. On suppose la dalle appuyée à son pourtour, tandis que le plus souvent elle y est encastrée d'une manière plus ou moins complète. On suppose l'épaisseur constante, tandis qu'en pratique on peut être conduit

à renforcer les épaisseurs dans la partie centrale et les sections et moments d'inertie ne seront plus constants. Enfin, dans les dalles en ciment armé, les moments d'inertie ne sont pas égaux dans toutes les directions. On n'aura donc qu'une approximation, comme dans la plupart des théories de la Résistance des matériaux. Cependant il est évident qu'on serrerait ainsi la question du plus près possible.

C'est dans cet esprit et pour ces motifs que nous avons essayé de tirer parti de la théorie de Navier, corrigée par Résal, et de calculer des résultats numériques précis pour un certain nombre de cas. Nous avons reconnu que ce travail était parfaitement abordable.

On peut du reste le compléter pour les cas limites en modifiant la théorie de Navier et en introduisant les fonctions simples de Lamé, d'ailleurs utilisées déjà par Maurice Lévy, pour l'intégration de l'équation de Lagrange.

Nous avons pu parvenir ainsi à une série de tableaux et d'abaques qui paraissent pouvoir rendre des services et qui permettront toutes les interpolations désirables. Il serait du reste facile de faire d'avance ces interpolations et de construire par

a

exemple des abaques pour des valeurs du rapport p = variant b de dixième en dixième, le jour où l'on jugerait que ce travail mérite d'être entrepris.

Nous avons enfin ajouté quelques indications sur la manière de calculer les cisaillements, dont l'Avis du Conseil ne s'était pas occupé, et sur la valeur des fatigues aux angles des plaques.

L'examen de nos résultats et la comparaison qu'on en peut faire avec les formules contenues dans l'Avis du Conseil ne révèlent pas de discordances réellement très graves. Cependant ces discordances sont sensibles lorsque les rapports et sont a b

u

υ

On est amené à penser que la

forme rationnelle d'une formule empirique devrait être en gros

la suivante :

assurerait bien à M, une limite finie quand l'une des dimensions u et v tendrait seule vers zéro et une limite infinie quand ces deux dimensions s'annuleraient à la fois. Mais l'utilisation directe de tables ou d'abaques nous paraît aussi facile et plus recommandable.

=

=

Une conséquence assez importante qui nous paraît ressortir assez nettement de l'ensemble des résultats c'est que, même pour des plaques de côtés très inégaux, les moments M, peuvent atteindre des valeurs très comparables à celles des moments M,. Cela dépend de l'orientation du petit rectangle supposé chargé. Dans le cas d'une plaque indéfinie dans un sens (b x), on trouve M, M, lorsque l'on suppose v = 0 par exemple. Or il y a des cas où l'on est assez mal fixé sur les dimensions du rectangle chargé et sur l'orientation à attribuer à son plus long côté. Il nous semble qu'il y aurait là un motif sérieux pour attribuer toujours aux armatures dites secondaires, c'est-à-dire parallèles aux longs côtés de la plaque, une importance sensiblement égale à celles des armatures dites principales, c'est-à-dire perpendiculaires à ces mêmes côtés. La circulaire de 1905 n'exige pour ces armatures secondaires qu'une valeur égale à la moitié de celle des armatures principales et souvent on néglige de les calculer. La pratique proposée aurait au surplus pour effet de rendre inutile toute correction relative à l'inégalité des sections et des moments d'inertie et une des objections qu'on peut faire à la théorie pure disparaîtrait du même coup.

Un point théorique qui est jusqu'ici resté dans l'ombre c'est la question de savoir s'il convient, ou non, pour le béton armé de calculer les fatigues en tenant compte du coefficient de Poisson, et de savoir quelle valeur il faut lui attribuer (1). Per

η

(1) Voir l'opinion légèrement différente exprimée sur ce sujet par M. Mesnager et les justifications qu'il en a produites Annales des Ponts et Chaussées, III, 1916). Ici il ne s'agit que d'une raison de prudence.

sonnellement nous pensons qu'il convient d'en tenir compte et que les fatigues au centre doivent être calculées par les expres

Π

Il y aurait là

une raison nouvelle en faveur de l'égalisation et N, et des armatures correspondantes. Quant à la valeur même à attribuer à il serait conforme à la prudence,

des tensions N,

l'on ne veut pas aller jusqu'à la valeur habituelle = η

3

10

si

admise

pour la plupart des matériaux, d'admettre tout au moins = 0,15.

NOTE DE CALCULS

Il s'agit avant tout de trouver des moyens commodes pour évaluer les tensions au centre de la plaque lorsqu'on a affaire à une charge uniformément répartie sur un rectangle concentrique à cette plaque. On peut en effet passer de ce cas simple au cas plus complexe de charges réparties sur des rectangles distribués symétriquement par rapport aux deux axes de la plaque.

L'étude des tensions aux angles de la plaque et celle des cisaillements totaux au pourtour des zones chargées sont des problèmes accessoires qui méritent aussi d'être abordés pour en tirer des conclusions pratiques.

Il paraît utile de rappeler tout d'abord quelques notions et quelques formules générales.

E désigne le coefficient d'élasticité et le coefficient de Poisson. L'épaisseur de la plaque est désignée par 2 h et le moment

d'inertie de sa section par unité de longueur est I

2

3

h3.

L'ordonnée du feuillet moyen déformé est désignée par w, et les tensions envisagées sont, conformément aux notations de Lamé, N1, N... Ts, prises à la surface de la plaque, c'est-à-dire