III. PLAQUE RECTANGULAIRE DE LARGEUR INFINIE SUR UN RECTANGLE LIMITÉ DANS LE SENS DE CETTE LARGEur. Il s'agit du cas où l'on a p = 0 et où en même temps on a υ p" == 0, 0, avec v fini, cas que nous avons dû exclure plus haut. On peut le traiter complètement ainsi qu'il suit. 1 y Ꮖ Soit d. f. d, f, le rectangle chargé de longueur u parallèlement à ox et de largeur v. Prenons comme axe des x la perpendiculaire aux bords de la plaque et passant par le centre du rectangle chargé. Nous appellerons bande chargée, le rectangle BAB, A, qui comprend le rectangle chargé. Soit p la charge par unité de surface dans le rectangle df. d, f. On pourra développer p, considéré comme fonction de r seulement, en série de Fourier valable dans tout le rectangle B A B, A, et on aura comme précédemment : coefficient A de la charge simple aura pour valeur: La solution simple correspondante aura des définitions analytiques différentes dans la bande chargée et dans les régions extérieures. Appelons-la w dans la bande chargée et w' dans la région située au-dessous de BA. En ce qui concerne w, si on la prend sous la forme w=B sin rx, la fonction B devra satisfaire à l'équation de Lagrange qui devient ici : A et la solution générale Une solution particulière est B de l'équation sans second membre est de la forme La solution cherchée doit d'ailleurs être paire en y, c'est-à-dire prendre des valeurs égales pour y ety. On obtient ce résultat en faisant D C et D, C,. On peut donc prendre comme solution : B = = En ce qui concerne si on la prend sous la forme w' = B' sin rr, la fonction B' devra satisfaire à la même équation que B, mais en supprimant le second membre, puisqu'il n'y a pas de charge dans cette région. La forme de B' peut d'ailleurs être particularisée en tenant compte de ce qu'on doit avoir w= 0 pour y=. L'exponentielle ery doit avoir ses coefficients nuls et on pourra donner à B′ la forme plus simple: Cela posé, les quatre constantes CC, C' C', se détermineront en υ écrivant que pour y = 5, c'est-à-dire tout le long de B. A., les 2 fonctions wet w' sont égales, ainsi que leurs dérivées des trois premiers ordres par rapport à y et cela quel que soit x. Les deux premières de ces conditions expriment que la surface du feuillet Ann. des P. et Ch., MÉMOIRES, 1921-I. 3 moyen déformé est continue, et les deux autres expriment en outre que les tensions N, (ou N,) sont égales, ainsi que les efforts tangentiels totaux T', dans le plan perpendiculaire à la plaque et passant par BA. En faisant abstraction des facteurs sin rr qui se retrouvent partout, les dérivées successives de w et de w' par rapport à y s'écrivent : d w dy d2 w d y2 d3 w dy3 dw' dy d2 w' dy2 d3 w' dy3 ry =―r (C+C, y) e +r (C-C1y) e +C,e Les équations de condition s'en déduisent immédiatement. Après un calcul, dont le détail est sans intérêt, on trouve : On en déduit ensuite pour les moments M, et M, ou centre du a 2 rectangle chargé (x = (y = 0) les expressions suivantes, dans lesquelles P désigne la charge totale P = p. u v. on obtient en faisant les sommations, pour la charge complète Les séries simples qui figurent dans ces expressions sont faciles 1 2 nons plus loin quelques valeurs de M, et M, pour P = 4. Il est intéressant de faire une rapide discussion de ces formules. ment de 1 à zéro lorsque Z varie entre zéro et l'infini, et on sait que sa décroissance est d'abord très rapide. La fonction F Elle est nulle pour Z∞. Pour Z = 0 sa ¡limite s'obtient en développant l'exponentielle et on trouve pour sa valeur princi pale réduite aux termes du second degré 1 donc l'unité et cette limite est un maximum. Z2 2 Sa limite est Si donc on suppose rigoureusement nul, on peut remplacer v a 2 dans les formules donnant M, et M2 les deux fonctions l'unité et alors M, et M2 deviennent rigoureusement égales. υ 2 par Si est très petit, sans être rigoureusement nul, les premiers a termes des séries sont affectés de multiplicateurs très voisins de l'unité et ce sont d'ailleurs ces termes qui sont prépondérants. En effet à mesure que m croît les valeurs de Z M Z V = 4 a croissent et les multiplicateurs tendent vers zéro en augmentant la rapidité de convergence des séries. Les multiplicateurs relatifs à M2 v บ décroissent d'ailleurs très rapidement lorsque augmente à par a tir de zéro tandis que les multiplicateurs relatifs à M. décroissent d'abord très lentement. Ces mêmes caractères doivent se retrouver pour les fonctions M, et M, elles-mêmes. Enfin si est un nombre assez grand et si pour préciser on le a fait par exemple égal à 4, on aura, pour m = 1, une valeur déjà 'et l'on aura pour M, une valeur tendant vers zéro. Quant au second multiplicateur, il aura pour valeur approchée, même pour Si on remplaçait P par sa valeur Ppuv on retomberait sur la formule que nous avons déjà rencontrée pour ọ lorsque le rapport = " est fini mais quelconque. Cette con a cordance constitue une vérification intéressante. a La formule ainsi simplifiée peut être adoptée dès que l'on a > 3. Les résultats relatifs à la plaque indéfinie dans un sens ont été consignés dans des tableaux et abaques particuliers correspondant à p = 0. Mais cette fois on a pris comme argument! au lieu de qui serait toujours nul. a Ces résultats sont intéressants par eux-mêmes car il peut |