Nous obtiendrons pour la valeur de M, correspondant à la charge complète l'expression suivante, où P représente la charge totale p'u On calculera d'une façon analogue M. On a d'une manière F (mp) se déduisant de F(mg) en changeant le signe du terme 2mb a qui figure à son numérateur. On a donc toujours l'inéga lité F' (mp) > F (mp). Les séries qui figurent dans les expressions de M, et de M, u sont assez faciles à calculer lorsque a une valeur simple, car a les fonctions F et F' qui affectent chaque terme tendent rapide ment vers l'unité et cela d'autant plus vite que b 1 - a P est plus grand. Si on a par exemple a = b, dès que l'on a m 3, on peut remplacer F et F' par l'unité avec une erreur relative de moins de 1 millième. Par ce procédé on peut donc compléter les résultats obtenus par le calcul direct des séries doubles de Navier-Résal lorsque = บ tend vers zéro, et l'on vérifie en même temps l'exactitude de ces calculs directs. Il est bien évident que par une permu tation des deux axes, c'est-à-dire en changeant pen 1 ? et en per mutant p' et p" on trouverait les limites correspondantes à p' = 0. u On ne peut aller au delà car les expressions qui viennent d'être trouvées montrent que si p = tend vers zéro, en même temps que "0, on trouve pour M, et M, des valeurs infi nies. P a 2 Les tableaux ci-après donnent pour les valeurs de p = 1 √2 1 = P les valeurs calculées de M, lorsque la charge P est égale à l'unité et est répartie sur des rectangles concentriques à la plaque dont les dimensions sont respectivement définies par 2 A côté de chacun d'eux on a mis les valeurs de M, correspondant aux mêmes valeurs de p et qui sont en somme les valeurs de M, pour = √2 et p = 2 inversion faite de p' et de p". On a utilisé ces tableaux pour construire des courbes continues qui pour chaque valeur de et pour des valeurs données de p' (ou de p") représenteraient la valeur de M, lorsque la dernière variable" (ou p') varie de 0 à 1. On a constaté que ces courbes sont parfaitement régulières et que leur allure est très précise. On les a finalement utilisées pour construire les abaques qui figurent à la fin de la note. Ceux-ci représentent les courbes de niveau des surfaces en forme d'entonnoir qui, pour chaque valeur de, auraient pour ordonnées M, dans un système de coordonnées rectangulaires défini dans le plan horizontal par les deux variables p' == et p" = 2. u a บ Si l'on a une plaque correspondant à l'une des valeurs de p par les envisagées, on obtient ainsi directement les coefficients quels il faut multiplier la charge totale P, lorsque p' et p" ont des valeurs quelconques données. Si l'on a une plaque correspondant à une valeur de quelconque on interpolera (1). - b) Étude sommaire de M. De l'expression trouvée pour la plaque complètement chargée on passe encore à celle qui correspond à la plaque chargée seulement dans le rectangle u v en multipliant chaque terme par a On pourrait calculer pour différentes valeurs de p = 1/ u V et de a' b ment aux valeurs correspondantes de M, et M. Mais ce travail ne parait pas avoir grand intérêt pratique, car il suffit de mon les valeurs de cette expression et les comparer ainsi directe tanément vers zéro, et que sa limite reste inférieure aux valeurs que peuvent prendre M, et M, pour des valeurs petites des rap ບ 2 et 7. On voit tout d'abord que 1 ne change pas quand on conduit à penser que pour des valeurs données particulièrement pour des valeurs égales de de a et de et b' ces rapports, le Ensuite on peut, quand on ne s'occupe que de limites, utiliser (1) Les courbes de niveau relatives à M, sont normales à l'axe des arguments". Celles relatives à M2 sont normales à l'axe des arguments a directement les résultats trouvés pour le cas limite ou v = 0. Il s'agit cette fois, pour la solution simple: rd B dy b 2 rb b rb rb rb Pour x= 0 on a cos rx= o on a d'autre part : = r2 (C+C) +2 (D+D,)e+rGe+rD,e Cette expression se simplifie si l'on utilise les relations (1) et (2') et l'on obtient (toujours pour y = -2r? b rb b rb dB -[(1-꼴)-1] dy " T=2r" (C+ C12 )e=" + 2rG,e="=2re [C, (1)C] En remplaçant C et C, par leurs valeurs la parenthèse devient : P solutions simples, nous obtenons en tenant compte de p = u b La série simple obtenue est très convergente, quels que soient a et Si on pose F(mp) = m u a . que la suite des valeurs prises vement positives et négatives mp e +e +2 par cette fonction sont alternati et décroissent très rapidement, à peu près comme хе Pour préciser, si on suppose 1 m Si donc on suppose maintenant - très petit, de telle sorte que sin conserve le même signe pour d'assez grandes valeurs de 2 a m, la série pourra être approximativement remplacée par son premier terme, qui en fournira une valeur par excès. Il en résulte pour la valeur approchée par excès : valeur bien inférieure à celle qu'atteignent M, et M, pour Il est donc inutile de s'en préoccuper, du moins pour des charges concentrées dans la région centrale de la plaque. Pour des charges distribuées près de la périphérie, il pourrait bien entendu en être autrement. |