pour zh. Les lettres T'et T, désigneront le cas échéant les efforts tangentiels totaux, c'est-à-dire correspondant à toute la hauteur de la plaque, dans les plans verticaux respectivement parallèles à Ox et Oy. L'intensité de la charge au point (xy) est, désignée par f (xy).

L'ordonnée w du feuillet moyen déformé satisfait à l'équation de Lagrange

et en outre aux conditions imposées au contour savoir à

2

Les tensions N,, N, et T, sur la face supérieure de la plaque sont respectivement données par les formules:

Si la solution de l'équation de Lagrange est prise sous la

w, ce qui revient à dire qu'on fait abstraction

d x2

2

M, M, et peuvent être considérés comme des moments fléchissants rapportés à l'unité de longueur de la plaque, tout comme le moment d'inertie I. Ils ne dépendent pas des coefficients. d'élasticité. Les tensions s'en déduisent simplement lorsqu'on s'est donné la valeur du coefficient de Poisson 7.

Quant aux efforts tangentiels totaux T,' et T' qu'on peut appeler cisaillements, ou efforts tranchants, rapportés eux aussi à l'unité de longueur ils auront pour expression:

Le principe très général de la méthode Navier pour les plaques rectangulaires, consiste essentiellement à développer la fonction 1 (x y), qui représente en chaque point l'intensité de la charge,

B

a

x

en une série double de Fourier, valable dans le domaine (a b) et à déterminer terme à terme des solutions simples satisfaisant à l'équation de Lagrange et aux conditions sur le contour.

Si l'on a :.

f(xy) = Σ Ama

sin mx sin ny

a

b

on appellera charge simple celle qui serait représentée par le terme

satisfera aux conditions sur le contour.

La solution complète sera la somme de toutes les solutions simples, et tous les résultats s'obtiendront d'une manière générale par sommation des résultats relatifs aux solutions simples.

I.

PLAQUE RECTANGULAIRE UNIFORMÉMENT CHARGÉE

SUR TOUTE SA SURFACE (1).

Dans ce cas la fonction f (xy) se réduit à une constante p, charge par unité de surface. En la développant en série de Fourier on trouve:

met n désignant des nombres entiers impairs et on déduit de l'équation de Lagrange la condition :

(1) Il n'est question dans ce paragraphe que de préparer l'exposé du problème de la plaque incomplètement chargée, suivant les principes de Navier et de Résal et de montrer par le fait que le calcul numérique de la série double de Navier n'avait rien de particulièrement difficile et pouvait être exécuté une fois pour toutes. Il est utile toutefois, même en se limitant à ce point de vue pratique, de rappeler que Maurice Lévy avait indiqué pour ce cas une série simple pouvant être substituée à la série double de Navier. D'ailleurs nous avons utilisé le même principe (développements de Fourier en séries simples, emploi des solutions simples de Lamé) dans l'examen de certains cas limites (voir plus loin).

Le développement de Maurice Lévy a été utilisé, après diverses transformations analytiques, par M. Mesnager, qui avait dès 1916 donné des résultats numériques équivalents à ceux que nous produisons ici (Annales des Ponts et Chaussées, III, 1916).

on obtiendrait bien entendu une autre forme équivalente en met

Étude de M, au centre de la plaque.

On aurait l'expression générale de M, pour un point quelconque en dérivant w deux fois par rapport à x, ce qui fait apparaître le facteur

m2 2
a2

dans chaque solution simple. Il reste

p.a.b. XP en désignant par P la charge totale, on trouve

Toute la question se ramène donc au calcul de la série double,

qui est une fonction de p2, et que nous désignerons par M (p). Cette série est très rapidement convergente et on a souvent indiqué, d'après Navier, qu'une valeur très approchée était fournie par son premier terme (m = 1 et n = 1). Cela n'est pas tout à fait exact lorsque est petit. Mais il n'y a absolument aucune difficulté à calculer des valeurs de la fonction M (p) en nombre suffisant pour la définir numériquement de zéro à l'infini, et pour permettre d'en tracer la courbe, ainsi que celle du

p

produit 16 M (p).

元

Pour la limite inférieure

= 0 la fonction M (p) se présente

sous la forme du produit des deux séries simples:

Pour la limite supérieure, on a évidemment M (p)=0. Son produit par se présente sous la forme indéterminée 0. Mais il est facile de lever l'indétermination, et de voir que la courbe M (p) a avec son asymptote un contact d'ordre supérieur ou premier. On a M (p) = 0 et même p2 M (p) = 0.

P

On peut démontrer ce dernier résultat d'une manière très simple. Considérons en effet la fonction:

M (p) + M

On peut, puisque rien ne distingue la série des nombres m de celle des nombres n, lui donner la forme: