Enfin il n'échappe pas aux critiques faites plus haut de l'hétérogénéité des éléments composant l'ouvrage.

En résumé, il y a avantage à constituer la muraille par des blocs homogènes, massifs et aussi gros que possible, s'imbriquant les uns dans les autres par des dispositifs simples n'affaiblissant pas le béton. Les progrès de l'outillage mécanique permettent d'envisager aujourd'hui le bardage de poids très supérieurs à ceux que l'on a pris l'habitude de considérer comme des maxima sur les chantiers de travaux maritimes.

CONCLUSION.

Les considérations qui précèdent ont servi de base à l'étude de la nouvelle jetée d'Alger. Le projet, adopté par l'Administration à l'issue d'un concours, est celui qui avait été présenté par MM. Schneider et Cie, Hersent et Daydé. Cet ouvrage, dont la figure 21 représente le profil type, sera fondé à (-15.00). Il sera constitué par un arrimage de

gros blocs, la longueur de chaque bloc étant égale à la largeur même de l'ouvrage. Cette condition que l'on s'est imposée déterminait en même temps la hauteur et la largeur des blocs ; il fallait en effet observer une certaine proportion entre les trois dimensions pour obtenir des blocs qui ne risquent pas de se casser au bardage. Le poids de ces blocs se trouvait par là même déterminé; il est voisin de 450 tonnes, ce qui nécessitera la mise en œuvre d'un outillage sans précédent.

Les faces des blocs porteront des saillies et des creux destinés à permettre un arrimage précis et à solidariser les blocs entre eux.

Ajoutons que si l'on appliquait strictement à cet ouvrage les méthodes de calcul et d'examen que nous avons exposées au cours de cet article, on arriverait à cette conclusion que la nouvelle jetée d'Alger offre à la mer un surcroît inutile de résistance. Si les vagues, en effet, peuvent frapper normalement cet ouvrage, au moins dans certaines parties de son tracé, elles n'atteignent guère, dans les plus fortes tempêtes, que 80 mètres de longueur et 5 mètres de hauteur.

Néanmoins, il est d'une prudence élémentaire de n'ajouter à des calculs basés sur des considérations presque uniquement théoriques qu'une confiance limitée. On s'est donc donné une forte marge de sécurité et on a vu plus haut que dans les approximations du calcul nous ne cherchions que des ordres de grandeur exprimant les limites supérieures des efforts possibles.

Mais nous ne doutons pas que par des observations et des essais méthodiques faits sur des ouvrages analogues existants ou à venir, on ne puisse arriver à connaître de manière très approchée la mesure de l'action de la mer sur les digues verticales et, partant, à donner à celles-ci les dimensions les plus économiques. C'est pourquoi nous avons pensé qu'il y avait quelque intérêt à publier ces lignes dans les Annales.

N° 28

SUR LE CALCUL DES ARCS ENCASTRÉS

DANS UN TROISIÈME CAS

Par M. LEGAY,

Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées

I. — EXPOSÉ ET PRÉLIMINAIRES

1. M. Pigeaud a publié, dans les Annales des Ponts et Chaussées (1905, 1er sem., et 1906, 2o sem.), des Tables pour le calcul des arcs encastrés, qui concernent les deux cas suivants :

Le premier, celui où la section de l'arc est constante;

Le second, celui où l'aire de la section varie en raison inverse du cosinus de l'inclinaison, mais où le rayon de gyration reste

constant.

Plusieurs années auparavant, M. Souleyre avait étudié la même question, et montré comment les équations générales pouvaient être résolues, précisément dans les deux mêmes cas, pour l'arc en chaînette. et l'arc parabolique (Mémoire sur les arcs articulés et les arcs encastrés : Annales des Ponts et Chaussées, 1er sem. 1895). M. Souleyre n'avait pas donné de résultats numériques d'ensemble; mais il avait établi des formules algébriques très simples, fournissant la solution complète de la question, pour l'arc parabolique, dans le deuxième cas.

Les tables de M. Pigeaud rendent des services signalés, comme celles de Bresse pour les arcs à deux articulations.

Nous nous proposons de traiter la question dans un troisième cas: celui où, non seulement l'aire de la section, mais encore le rayon de gyration, varient, l'un et l'autre, en raison inverse du cosinus de l'inclinaison :

La première condition répond à la variation de l'effort normal, qui représente une partie importante du travail total.

Mais, d'autre part, il est de pratique à peu près constante, pour les arcs qui se comportent comme encastrés, de faire croître la hauteur du sommet aux appuis, où a lieu le moment fléchissant maximum. Sans doute ne semble-t-il pas indispensable, a priori, que cette variation ait lieu exactement suivant l'inverse du cosinus en fait, cependant, cette loi n'est pas loin d'être, le plus souvent, à peu près observée pour la hauteur aux naissances comparée à celle au sommet, donc'aussi pour le rayon de gyration, qui est sensiblement proportionnel à la hauteur. Les exemples que nous trouvons dans les Ponts métalliques de Jean Résal (Tableau des pages 502 et suivantes, t. I) se rapportent, il est vrai, à des arcs assez surbaissés, pour lesquels, en conséquence,

ds

varie dans des limites peu étendues (1). Mais on peut faire la dx même constatation sur les arcs en béton armé, parmi lesquels beaucoup sont très peu surbaissés.

Il semble donc que le mode de variation que nous considérons est bien, parmi ceux qu'il est possible de formuler d'une façon simple, l'un de ceux qui se rapprccheront le plus des réalisations de la pratique, et que, dès lors, il mérite d'être examiné.

Il est à remarquer que, parmi les deux éléments considérés, c'est le rayon de gyration dont le mode de variation exerce le plus d'influence sur le résultat des calculs ; car le moment d'inertie est proportionnel au carré de ce rayon, et seulement à la première puissance de l'aire Q. Et l'on pourra constater, en effet, que nos résultats diffèrent sensiblement plus de ceux de M. Pigeaud, que les deux cas examinés par lui ne diffèrent entre eux. Ceci étant, rien ne s'opposera à ce qu'un projet réalise exactement la loi.

γ

Το

ds dx

, si on l'a choisie. Quant aux aires Q, elles

(1) On y voit aussi plusieurs cas d'arcs de hauteur constante, ce qui semblerait démentir notre constatation. Mais il s'agit d'ouvrages déjà anciens, qui, lors de leur construction, ont été considérés comme articulés aux appuis.

seront généralement arrêtées en fin d'étude, à la demande de la si le contour adopté ne

courbe enveloppe des efforts totaux

d'après la remarque précédente, qu'une influence, peut-être sensible, mais secondaire, sur la validité d'application de nos résultats. Mais si l'écart est important, il y aura lieu de procéder aux calculs définitifs au moyen des quadratures calculées sur épure, suivant la méthode exposée par Résal. Nous reviendrons d'ailleurs sur ce point.

On peut remarquer incidemment que pour les sections rectangulaires pleines, comme celles des voûtes en maçonnerie, l'une des deux conditions entraîne l'autre. Tel pourra être aussi le cas pour le béton sans armatures longitudinales ou à peu près (béton fretté ou cellulaire). Nos résultats seront alors applicables sans réserve.

Par ailleurs, si l'on était conduit à préférer, pour le rayon de gyration, une loi de croissance moins rapide, la solution pourrait être cherchée dans une interpolation entre les résultats de M. Pigeaud et les nôtres.

2. Dans un autre ordre d'idées, les tables de M. Pigeaud ne concernent que les arcs circulaires, et accessoirement, les arcs paraboliques. Or, la forme circulaire n'est pas toujours la forme optima; elle est même nettement contre-indiquée pour les arcs très peu surbaissés. La parabole, parfois préférable à l'arc de cercle, réalise moins scuvent encore la courbe optima. L'arc de cercle donnerait d'ailleurs lieu à des calculs vraisemblablement laborieux dans notre cas. Par contre, la parabole et la chaînette se prêtent bien au calcul. Nous résoudrons le problème complètement et directement pour ces deux courbes. Nous le réscudrons directement aussi, mais seulement en ce qui concerne la charge permanente et la dilatation, pour une famille de courbes, qui sont précisément celles qu'on peut, en général, considérer comme optima, et qui comprennent, comme cas particulier, la parabole et la chaînette. Puis nous verrons, au moyen de l'ensemble de ces résultats, comment on peut passer à la solution du problème