20 Matières: Charbon, 5.390 kg. à 140 fr. les 1.000 kg... 754 fr. 60 14.463 fr. 96 Dépense totale du battage... Prix de revient du m1 de battage à l'entreprise : 14.463.96: 72 ml =201 fr. Prix du mètre linéaire de battage à l'entreprise :. 201 fr. 20 221 fr. N° 23 NOTE CALCUL DES VIADUCS SUR LE CALCUL Par M. GRELOT, Ingénieur des Ponts et Chaussées au Service central d'Études techniques. Le Service central d'Études techniques a étudié, sur la demande des Ingénieurs du port de Marseille, la stabilité d'un dispositif de voûtes continues en béton armé, destinées à servir à l'élargissement du quai du large, du bassin de la Gare Maritime Il s'agissait, en l'espèce, de savoir s'il était prudent ou non de prévoir un pareil dispositif, qui pouvait être particulièrement intéressant, au point de vue des sujétions locales d'exécution. C'était, en somme, demander de résoudre dans un cas particulier le problème du calcul des viaducs. Il ne semble pas que, pratiquement, ce problème ait été abordé par d'autre voie que les méthodes, dites graphiques, et notamment par la méthode de Ritter, que l'on trouvera exposée dans le Génie civil (3 janvier 1903 et 15 août 1908, articles de M. Lossier). M. Séjourné la signale seulement dans son traité des Grandes voûtes : « Méthode élégante, mais d'application fort laborieuse ». L'application, qui en est faite dans le second article cité, suppose d'ailleurs que les retombées des voûtes chargées se déplacent horizontalement, comme sous l'effet d'un changement de température. Les ingénieurs français sont peu habitués à l'emploi de la méthode de Ritter; d'autre part, il est permis de se demander, a priori, si des constructions graphiques, faites même avec le plus grand soin, permettent, dans un cas aussi complexe, d'obtenir des résultats probants. Aussi, M. Pigeaud, Chef du Service central d'Études techniques, nous a-t-il conseillé de nous en tenir aux méthodes déduites des formules de déformation, dites formules de Bresse. Il nous a indiqué le canevas d'une étude, calqué sur le procédé qu'il emploie pour étudier le problème des poutres à travées solidaires, dans son Cours de Résistance des Matériaux. Il nous a paru intéressant de faire connaître les résultats auxquels nous sommes arrivé, ainsi que l'application qui en a été faite au mur de quai projeté pour le port de Marseille. Nous ferons d'abord l'exposé du problème, dans toute sa généralité; mais, chemin faisant, nous introduirons des hypothèses simplificatrices plausibles qui, sans rien changer à l'esprit de la méthode, permettront de la décrire plus simplement, et de ne pas rebuter le lecteur par l'emploi d'un plus grand nombre de formules. Celui-ci les rétablirait aisément, s'il désirait ne pas introduire ces hypothèses. CALCUL DES VIADUCS. Considérons n voûtes invariablement fixées à l'extrémité de (n + 1) piles égales ou non, numérotées de 1 à n+1 à partir de la gauche. La voûte de rang i sera ainsi comprise entre les piles de rang i et i + 1, et les voûtes aboutissant au sommet de la pile i seront i I et i. Nous supposerons que les piles extrêmes I et n + 1 sont suffisamment robustes pour faire office de culées invariables, sur lesquelles les voûtes I et n + 1 seront parfaitement encastrées. Si on désigne par wi, u1, vi, le déplacement angulaire, le déplace ment horizontal et le déplacement vertical de la fibre moyenne de la pile de rang i, on aura: w1 = u1 = V1 = 0, et: Wn + 1 = Un + 1 = Un + 1 = 0. Ces déplacements élémentaires sont d'ailleurs égaux à ceux des fibres moyennes des voûtes, à leurs sections d'extrémité, puisque les liaisons entre les voûtes et les piles sont supposées parfaites. Etablissement des équations fondamentales. - Les piles exercent sur les sections d'extrémités des voûtes des réactions que l'on peut définir par leurs composantes horizontales X, verticales Y, et leurs moments par rapport au sommet de chaque pile, S. Il est aisé de trouver les relations entre les composantes et les déplacements élémentaires précédemment définis (1). Pour la pile de rang i, on aura par exemple : Les constantes A1, Bi, E;, dépendent seulement de la section de chaque pile, de sa hauteur et des hypothèses faites sur la liaison avec sa base de fondation. La théorie qui va suivre pourrait être faite en tenant compte du déplacement vertical v;. Mais ce déplacement est toujours très petit devant le déplacement horizontal u; et devant la rotation Wi. = 0 Nous supposerons donc pour simplifier que l'on a v; o comme dans la théorie des poutres à travées solidaires. Désignons d'autre part, dans la voûte i dont la portée est égale à l, par M; et par N; les moments fléchissants qui se produisent dans les deux sections infiniment voisines des sections d'extrémité de gauche et de droite et par Q; la poussée. Les conditions d'équilibre des tronçons qui se trouvent au-dessus de la pile i sont : (1) Nous reviendrons plus loin sur la détermination de ces relations. Ce groupe (I) se réduit d'ailleurs à 2 [(n + 1) — 2] 2(n-1) équations distinctes en raison des hypothèses faites sur les piles d'extrémité. Or les inconnues sont : M1, N1, au nombre de 2n ; Qi, au nombre de n ; u¡, w¡, au nombre de 2 (n 1); il faudra donc 3n équations nouvelles, pour résoudre le problème. Elles seront fournies par les équations de Bresse, qui sont précisément au nombre de 3n. Ces équations se présentent généralement sous la forme suivante, pour la voûte i. Or, les naissances des voûtes des viaducs sont très généralement au même niveau; si l'on prend pour chaque voûte i la section d'extrémité de gauche pour l'origine des coordonnées, on a yi Yi+1= 0; nous ferons cette simplification. Nous rem = Yi + 1 placerons également la première et la seconde équation par deux autres, qui en sont des combinaisons linéaires faciles à déduire. On aura ainsi, en faisant également v;v;+1 = o, d'après l'hypothèse primitive : = |