obtiendrait pour les tensions au centre d'un disque plein, supposé lui aussi complètement libre et en rotation uniforme, et ayant même diamètre extérieur que le disque évidé par un trou infiniment petit. Pour passer de la théorie qui précède au cas du disque plein, il suffit de faire B = o dans la formule (3) puisque dans ce cas il faut avoir u = rq (r) = o au centre, et, par voie de conséquence, la 2e équation de condition (6) donne :

2 (λ' + μ) A = KR,2

Au centre les maxima de N, et N,, d'ailleurs égaux, ont pour valeur, en vertu des équations (5) :

N1

1

2

· N2 = 2 (2' + μ) A = KR ̧2 soit exactement la moitié de la valeur (7)" ci-dessus.

II. DISQUES D'ÉPAISSEUR VARIABLE.

Commençons par traiter le cas d'un disque formé par la réunion de plusieurs anneaux, ayant chacun une épaisseur constante. C'est à peu près le cas des volants composés d'un moyeu, d'une jante et d'une partie centrale plus mince.

Pour préciser, nous supposerons ʼn anneaux successifs; le premier compris entre les cercles de rayon R。 et R,, et d'épaisseur z,; le second compris entre R, et R, et d'épaisseur z...,le dernier compris entre R, et R, et d'épaisseur z。.

A chacun de ces anneaux la théorie précédente pourra être appliquée à titre d'approximation, pourvu que l'on admette que sur les deux cylindres qui le limitent il soit soumis à des forces uniformément réparties. Or ces forces sont les réactions radiales, ou tangentielles dues à sa liaison avec les anneaux voisins. L'hypothèse en question est donc tout à fait justifiée, sur un cylindre de contact, pour l'anneau le plus étroit; elle l'est évidemment moins pour l'anneau le plus large, les réactions ne s'exerçant en fait que sur la bande du contact; mais elle peut cependant être admise à titre d'approximation et elle sera d'autant plus près de la vérité que la différence des épaisseurs sera plus petite.

Nous envisagerons d'abord le problème correspondant au régime de rotation uniforme, puisqu'on peut l'envisager seul. A chacun des disques correspondent des formules de la forme (4) et (5) avec un groupe de constantes A et B, que nous distinguerons par leurs indices et qui sont au nombre de 2n. Pour déterminer ces constantes on a d'abord deux équations analogues aux deux premières équations (6) et exprimant que pour le cylindre intérieur de rayon R。 et pour le cylindre extérieur de rayon R, on a des pressions normales connues

Po et Pn par exemple. Ensuite on a pour chacune des (n I) surfaces séparatives des différents anneaux deux équations de condition, exprimant l'une que les valeurs des déplacements radiaux sont les mêmes, l'autre que les valeurs de l'action et de la réaction radiales sont égales pour les deux anneaux contigus. Cela fait bien en tout 2n équations, et ces équations forment évidemment un système étagé dont la résolution est par suite relativement facile.

Considérons en particulier les deux équations de condition, ou de raccordement, le long du cercle R, et soient A, et B,, les constantes relatives au premier anneau A, et B, celles relatives au second anneau. Écrivons d'abord l'égalité des déplacements u pour = R1, nous aurons évidemment :

Écrivons ensuite l'inégalité de l'action et de la réaction. Cela implique que les produits par z, et z, respectivement des valeurs de N, correspondant à R, dans l'un et l'autre anneau sont égales. Nous obtenons, d'après (5) et tenant compte de la signification de la constante K,

On en déduit, en divisant par z, et en retranchant des deux membres

ou enfin, en tenant compte de la relation (8),

(9) 2 (2' + 2 μ) (A2 — A,) = [ 2 (a' + μ) A‚

KR22.

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Ainsi, en supposint connues les constantes A, et B, relatives au premier anneau, l'équation (9) ferait connaître la différence A, -A

et l'équation (8) ferait connaître la différence B2-B,, c'est-à-dire en somme A, et B2, constantes relatives au deuxième anneau.

Pour chaque surface séparative des anneaux on pourrait évidemment opérer de même, et obtenir facilement les valeurs de An et Bn relatives au dernier anneau, exprimées en fonction linéaire de A, et B,, laissés arbitraires.

Pour achever le calcul, c'est-à-dire la détermination de A, et B1, dont toutes les autres sont maintenant des fonctions connues, il suffit d'exprimer que l'on a N ̧ - Po pour R Ro et N, = - Bo pour R = Rn en se reportant aux équations (6).

Si au lieu d'opérer sur des quantités algébriques on opère sur des données numériques, ces calculs ne sauraient présenter de difficulté. On rencontre des calculs très analogues dans nombre d'applications de la Résistance des matériaux.

Ce qui vient d'être dit pour le problème correspondant à la rotation uniforme, ou à la force centrifuge, peut être transposé facilement pour le second problème, celui qui se rapporte à l'accélération éventuelle du mouvement de rotation et qui met en jeu les tensions tangentielles. Ici encore on a 2n constantes C et D, mais la série des constantes D, qui seules interviennent dans les équations analogues à (5)', peut se déterminer indépendamment de la série des constantes C. Ces dernières peuvent être laissées de côté tant qu'on n'a pas à se préoccuper des déplacements méridiens.

Sans détailler le calcul, on obtient des relations telles que :

Les équations (9)' suffisent donc à déterminer les D de proche en proche; les équations (8)' serviraient éventuellement à trouver la série des constantes C.

La détermination finale de D,, et par suite de toutes les autres constantes D s'obtiendra en écrivant une équation analogue à la dernière équation (6) pour la surface extérieure du dernier anneau, supposé soumis sur sa périphérie à une action tangentielle &. On peut encore, si on le préfère, substituer aux relations (9)' des relations inversées, obtenues en permutant les indices des D et des z, et déduire toutes les constantes D successives en fonction de Dn qui peut être connu directement.

Nous n'insisterons pas davantage sur ce sujet. Pour passer de là au Ann. des P. et Ch., MÉMOIRES, 1923-III.

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cas d'un disque d'épaisseur variable on voit facilement se dessiner une méthode approchée consistant à décomposer le disque réel en un nombre d'anneaux fictifs, suffisamment nombreux pour que chacun d'eux puisse être assimilé à un anneau d'épaisseur constante. L'épaisseur à attribuer à chaque anneau sera une épaisseur moyenne, sans qu'il y ait lieu de préciser autrement le sens de ce mot. Il semble que le meilleur parti serait de prendre l'épaisseur moyenne qui conduirait à l'égalité des forces centrifuges, ou des forces d'inertie tangentielles, suivant le cas, mais celle qui assure l'égalité des volumes est plus simple et d'autant plus acceptable qu'il ne s'agit que d'approximations

Nous ferons remarquer en terminant que les équations (8), (9) et leurs analogues (8)' et (9)' deviennent en réalité des équations aux différences finies pour les fonctions qu'elles servent à déterminer de proche en proche. On pourrait, à la limite, les transformer en équal tions différentielles. Mais l'intérêt pratique de cette transformation serait nul.

N° 18

COMPTE RENDU DES PÉRIODIQUES

Périodiques français, par M. PIGEAUD, Inspecteur général. Périodiques étrangers, par M. THERON, Ingénieur en Chef.

Le Génie Civil (23 juin 1923). — G. PIGEAUD : Barrages triangulaires en maçonnerie. Canevas général d'une étude de barrage. Données et objet du problème. Cette importante étude est la reproduction de la leçon consacrée à ce sujet par M. Pigeaud dans le cours de Résistance des matériaux qu'il professe à l'Ecole des Ponts et Chaussées. L'auteur expose les données du problème, et rappelle les résultats généraux essentiels à sa résolution, puis il développe l'étude préliminaire et l'étude définitive de la résistance du barrage, dans les deux cas du réservoir plein et du réservoir vide.

(5 mai et 30 juin 1923). Léon LÉGENS: Calcul de l'arc à deux rotules. Calcul de l'arc parabolique à rotules, continu sur deux ouver tures. L'arc à deux rotules contient un seul effort surabondant qui ne peut être déterminé par les procédés élémentaires de la statique et pour le calcul duquel on est obligé d'avoir recours à la théorie de l'élasticité.

L'auteur introduit la poussée horizontale de l'arc, comme effort surabondant, et développe ses calculs, qui ne sauraient être résumés brièvement ici. Il traite, dans le second article, le cas d'un système à deux rotules composé de deux arcs réunis au milieu, d'une façon rigide; il choisit des arcs de forme parabolique, mais son calcul peut s'appliquer à toute autre forme.

III. MATÉRIAUX ET PROCÉDÉS GÉNÉRAUX DE CONSTRUCTION.

Génie civil (5 et 12 mai 1923). Léon GUILLET: Un nouvel alliage d'aluminium l'alpax. Les récents Salons de l'Automobile et de