§ 15. Flexion d'une poutre sous l'effet d'une force agissant dans la section médiane. Supposons que pour la valeur 2 P de la force, la forme courbe d'équilibre, devienne possible (voir fig. 38). En disposant les axes Fig. 38. I coordonnés comme l'indique la figure, et en établissant les expressions des moments de flexion et de torsion dans une section quelconque, nous obtiendrons, pour la forme d'équilibre après sa variation, les équations différentielles suivantes : By" P(x). ? ; Co= - P [y + y' (l — x)] (83) Supposons que la fixation des extrémités ne permette pas la rotation autour de l'axe des X. La rotation autour d'axes parallèles ȧ y et z est possible. Dans ce cas, l'angle devra satisfaire aux conditions: approximative. Pour le travail de la force 2P et pour le travail moléculaire dû au gauchissement, nous aurons les formules établies précédemment : T=2P q•y ́ ́ (l—x) dx; V1 =B (y'')2 dx; V2 = C Pour la détermination de Per., écrivons l'équation: En tenant compte de la première des équations d'équilibre (83), En limitant le développement à ses deux premiers termes, pour A1 la simplicité des calculs, et en désignant par 3, l'équation A Il reste à choisir pour z des valeurs telles que P soit minimum. Ce problème se ramène à la résolution de l'équation du second degré : ses racines seront : z2+2,105 % -0,1111 = 0 21 = +0,051; 3,2,155 En substituant la valeur de 3, dans l'expression de Per., nous obtiendrons : Per. = 2,117/BC La résolution de ce problème par l'intégration des équations différentielles correspondantes a été effectuée par M. Prandtl qui a obtenu pour Per. la valeur : L'erreur relative est donc de 0,1% Remarquons qu'en limitant le développement de y à son premier terme, nous obtiendrons un résultat tout à fait satisfaisant : où, en se servant des notations (70) et en posant Per. = 1,312 E. § h Étudions maintenant quelle sera l'influence du déplacement du point d'application de la force, suivant la verticale, sur la valeur de Per.. Soit, a, la hauteur de ce point au-dessus de l'axe de la barre; du fait de cette position, le travail de la force pendant le gauchissement, augmente de la quantité : Pour la détermination de Per., nous obtenons une équation du second degré. Dans le cas où les valeurs de a sont petites, les calculs peuvent être simplifiés comme suit: dans le second terme du premier membre de l'équation, remplaçons P par sa valeur, obtenue précédemment; alors, en se contentant pour de la première approximation, on trouvera : L'influence de l'élévation du point d'application de la force se marque par l'existence d'un facteur supplémentaire dans le second membre de l'équation. En tenant compte de ce que la quantité b α (87) Pour terminer, considérons le cas où la fixation des extrémités empêche toute rotation autour de l'axe vertical, l'axe de la barre, pendant le gauchissement, doit prendre la forme représentée sur la fig. (39). Pour satisfaire aux conditions imposées aux extrémités, En limitant le développement à son premier terme, C?' = −P[y + y ́(l—x)] = PA {1 ' y' COS +7(l—x) sin L'équation qui détermine Per., conserve sa forme primitive: En remplaçant et y par leurs valeurs trouvées plus haut et en effectuant les intégrations, nous obtiendrons : Du fait de la fixation supplémentaire, la stabilité de la barre a augmenté de 1 1/2 fois environ. § 16. Flexion d'une poutre, sous l'effet d'une charge Supposons que la charge soit uniformément répartie suivant l'axe de la barre et que les liaisons soient telles que les extrémités ne puissent pas tourner autour de l'axe des X. Soit q la charge par unité de longueur de la poutre ; la charge totale sera : 2Q = 2ql. У m n Fig. 40. En augmentant graduellement q, on pourra atteindre une limite pour laquelle la forme plane d'équilibre cesse d'être stable et l'axe de la barre va se déformer comme le montre la figure (40). Désignons par f la flèche dans la section médiane. La position des points d'applications des réactions d'appui sera déterminée par la quantité e (voir fig. 40). En disposant les axes coordonnés comme l'indique la figure, nous pouvons, pour une section quelconque mn, écrire les équations d'équilibre suivantes : L'intégration de ces équations peut se faire au moyen des séries; mais, nous appliquerons pour la détermination de gcr., la méthode approximative. Etablissons, comme précédemment, l'expression de T pour le travail des forces extérieures, et de V pour l'accroissement du travail moléculaire pendant le gauchissement. La valeur de la charge critique se trouvera en égalant ces deux expressions. En utilisant les résultats du § 14, nous pouvons écrire pour le travail des forces extérieures l'expression suivante : |