Moyennant ces données le problème est encore indéterminé. Supposons que l'on se donne en plus la hauteur utile de la section: d' et d. Nous verrons ensuite comment on peut résoudre le problème en partant d'autres données, le rapport par

h

exemple, ou l'une des valeurs, '.

W

W

Cette proportion permet de construire immédiatement le point I.

Construisons ensuite le triangle PON rectangle en O et où :

Par G situé au tiers de OI menons la parallèle à AN qui coupe l'horizontale de A en z. Rappelons a en 3 sur l'horizontale de B

et tirons I qui coupe aA en A'.

A partir de A' portons A'A, tel que A'A,

M

AB. R'a

Tirons A,NB,; nous allons montrer que la poutre armée de

AA, w' en B et de B,B = en A résiste au moment fléchissant M avec des taux de travail Rь et R'a.

Menons en effet AB, qui coupe G x en O' et PN en Q ; h' étant la distance de O' à BB,; les triangles semblables AxO' et AQN donnent :

ce qui justifie la construction du point A1.

Il faut que A, et B, soient de part et d'autre de AB ; s'il n'en était pas ainsi, c'est que l'on pourrait supprimer l'armature comprimée en diminuant R, ou réduire la hauteur de la poutre.. Supposons maintenant que h soit inconnu et que, par exemple, on s'impose le rapport Faisons la construction précédente

W

Ο

jusqu'à celle du point A' inclusivement en partant de valeurs JB

quelconques de h d' et d. Par le point J tel que

menons la droite JN qui donne les points A, et B1.

AJ

Il est clair que la poutre ainsi déterminée résistera à un moment

et que si l'on multiplie toutes les longueurs de la figure 3 par λ, M, sera multiplié par 2. Si par conséquent on calcule le rapport :

on pourra, pour résister au moment M donné avec les efforts R

R'a, adopter les valeurs suivantes :

Toutefois il y a avantage à ce que d soit le plus petit possible pour la bonne utilisation du métal; bien qu'une légère erreur sur d soit généralement négligeable. Pour que soit voisin de 1, il conviendra de partir pour hd d'une valeur approchée. On pourra pour cela adopter pour h - d une valeur comprise entre M M b

0,3

et 0,4

b

2e problème. La section de la poutre est connue, ainsi que le moment fléchissant auquel elle doit résister; on demande de déterminer les efforts maxima dans le béton et dans l'acier.

On connaît cette fois O, A, B et la droite A,B,. Cherchons à déterminer l'axe neutre.

Pour cela menons à gauche de O une verticale qui en soit à la distance 2 m. AB ; soit T le point où elle coupe A,B1 (fig. 4). b

Sur une horizontale quelconque UV s'appuyant sur la verticale ainsi tracée et A, B, décrivons un demi-cercle et coupons-le en W par la droite T O.

Par O menons une parallèle à VW qui coupe A,B, en N. Je dis que N est sur l'axe neutre. Menons en effet l'horizontale NIP. Le triangle PON étant homothétique du triangle UWV est rectangle en O; on a donc :

Les parallèles AA, IN BB, donnent la relation connue :

IN AB+ AA, BI + BB, IA = 0

qui est bien comme l'on sait, l'équation définissant l'axe neutre

(Voir la circulaire de 1906).

Il ne restera plus qu'à marquer G au tiers de OI, à mener par

G une parallèle à AN qui coupera AB, en O' et à mesurer la distance h' de o' à BB,. On aura :

et

1

Extension de ce qui précède au cas où l'axe neutre tombe en dehors du hourdis.

Dans le cas d'une poutre nervée où la largeur du hourdis est b et celle de la nervure b', tout ce qui précède est applicable quand l'axe neutre tombe dans le hourdis (y≤ €).

Supposons maintenant qu'il tombe à l'extérieur du hourdis (y >). Soit OE

= €.

Reprenons les constructions de la figure 1 jusqu'à N1. En N, élevons N, E' = IE. A droite de N, portons N,P' :

Ε y

=

et menons en E' la perpendiculaire à E'P' qui coupe

l'axe neutre en N'.

Marquons G'au tiers de EI à partir de E.

Ce cas ne se distingue du cas de la pièce rectangulaire que par l'addition aux forces de compression de la force :

On n'a alors qu'à compléter le polygone funiculaire comme suit: Ayant mené par G la parallèle à AN1, on arrêtera ce côté en G, sur l'horizontale de G' et le côté suivant du funiculaire sera la parallèle à AN' menée par G1; ce sera sur cette droite que se trouveront cette fois les points S, O', a construits dans les figures précédentes.

Sachant ainsi construire le point S rien ne sera changé à la détermination de l'axe neutre dans le cas de la flexion composée. Mais ici on aura k par la relation :