D'après la théorie de la flexion la valeur du moment fléchissant correspondant à la même répartition des actions de contact est

l'action normale à la partie supérieure et due à ce moment fléchissant est

il en résulte que l'inclinaison de l'arète de contact est

les deux expressions de cette inclinaison coïncident pour y = 0 et sont égales a:

1 Fa

E 262

or il est bien évident que d'après la règle du triangle nous avons affaibli le voussoir puisque nous avons négligé la résistance de toute la partie inférieure, d'autre part en appliquant la théorie de la fléxion nous avons renforcé le voussoir puisque nous avons fait jouer le même rôle efficace à toute son étendue, notamment aux angles de la partie inférieure qui n'interviennent guère.

pour

Il est résulté que les deux expressions que nous avons trouvées la relation qui existe entre la force appliquée et l'inclinaison de l'arête de contact sont erronées et doivent encadrer la relation exacte.

Fig. 5.

Il en est de même pour la contraction au point où le contact cesse, mais le sens de l'approximation est interverti.

Il est facile de prévoir que l'expression trouvée par la règle du

triangle doit s'appliquer à des voussoirs très plats dans lesquels la

transmission des efforts se fait mal dans le sens vertical; au contraire, l'expression trouvée par la théorie de la flexion doit s'appliquer aux voussoirs très allongés parce qu'alors les transmissions des efforts dans le sens vertical peuvent se faire presqu'intégralement sur l'ensemble du solide.

Quoi qu'il en soit dans les cas ordinaires où le voussoir est voisin d'un carré, les deux expressions s'écartent assez rapidement dès que y s'approche de b, leur différence est

en développant en série par rapport à 7, la partie principale est:

qui est du 2o ordre, c'est-à-dire très petite quand y est petit, mais dès

que y

=

b

2

6

la seconde expression est égale aux de la première

et quand elle n'est plus égale qu'à la moitié.

=

7

L'erreur qu'on fait en prenant l'une ou l'autre ou leur moyenne atteint donc rapidement une valeur inacceptable.

C'est pour cela que nous avons essayé de reprendre la question en cherchant à satisfaire d'une manière plus convenable aux équations (4) et aux conditions limites.

Nous avons tout d'abord voulu nous servir des études qui ont été faites sur les poutres ou les plaques élastiques, mais les auteurs de ces études supposent toujours que la poutre ou la plaque n'a qu'une seule ou deux faces intéressantes le long desquelles on tient compte des conditions limites, les autres faces étant généralement rejetées à l'infini sans se préoccuper de ce qui se passerait aux abouts ou sur la tranche si le solide était fini (Travaux de MM. Maurice Lévy et Boussinesq cités par M. Appel: 3o volume du Cours de Mécanique, pages 544 et 545) alors que dans le voussoir toutes les faces ont une égale importance.

M. Ribière a examiné des poutres ou des plaques de dimensions finies, mais il suppose qu'elles se reproduisent périodiquement à

l'infini et il n'a pas la faculté de tenir compte de conditions qui seraient imposées dans les sections qui limitent chaque période.

Enfin nous avons trouvé dans un mémoire de M. Filon, daté de 1903 et que M. Flamant a commenté dans les Annales, que le problème du parallélipipède élastique, c'est-à-dire du corps sur les six faces duquel on se donne des conditions limites n'est pas résolu, et comme dans la revue qu'il donne des travaux faits dans cet ordre d'idées il signale seulement des solutions dans le cas où on ne tient compte que des conditions limites sur deux faces, nous en avons conclu que le problème n'est même pas résolu quand on veut tenir compte de 4 faces; c'est ce qu'on peut appeler le problème du rectangle élastique dont le problème du voussoir est un cas particulier.

Revenons aux

III. Recherche d'une solution générale. équations (4), l'un des groupes de solutions employées dans les études dont nous venons de parler est formé de la manière suivante. La 3 équation admet évidemment la solution

où les A, B sont des constantes arbitraires et les m des entiers quelconques.

D'autre part en éliminant S entre les deux premières on obtient

Où les C, D sont de nouvelles constantes arbitraires.

On en tire pour P, Q et S le groupe de solutions suivant :

Si maintenant nous supposons que nous nous sommes donné Pet S pour x = a développées en série de Fourier deb à + b nous n'avons qu'à identifier les expressions précédentes avec les

expressions données et nous déterminerons immédiatement toutes les constantes arbitraires du groupe de solutions envisagé.

Nous sommes ainsi en présence des valeurs qu'auraient les actions élémentaires dans un corps indéfini suivant og et indéfiniment périodique de période 2, en ce qui concerne les valeurs de ces actions élémentaires aux limites d'une période nous n'avons aucun pouvoir sur elles, il est bien évident que nous sommes loin d'être autorisé à les supposer nulles comme cela a lieu dans un voussoir. Si nous voulons échappper à cette périodicité nous pouvons faire augmenter ↳ indéfiniment mais cela ne nous avance

Fig. 6.

pas.

En somme nous nous encombrons de conditions aux limites pour a et pour toutes les valeurs de variant de xà, alors que nous devrions nous contenter de les écrire quand y est compris entreet + et passer ensuite betet

sur les faces à angle droit.

Autrement dit au lieu d'appliquer indéfiniment en dehors du voussoir les mêmes forces que nous nous sommes données à l'intérieur, nous devrions en appliquer d'autres qui auraient pour effet de rendre Q et S nuls sur les faces y b.

Nous pourrions par exemple en appliquer qui auraient dans le sens oy la forme qu'ont les premières dans le sens o., c'est-à-dire ajouter à PQS les termes complémentaires suivants :