si la réaction élastique p = Kv du sol atteint ou non des valeurs. négatives supérieures au poids par mètre courant du rail et de

ses accessoires.

Dans le cas de m très grand, ou lorsque m =

négatif de vest AX 0,0432 mum négatif de p est:

0,0001900

0,0001900. Par suite le maxi

800.000 152 kg.

=

Р

Dans le cas de m = o, nous avons trouvé pour le maximum négatif de v la valeur A× 0,134. Le maximum négatif de serait 471 kg. environ. Ce dernier chiffre paraît un peu élevé, même si on fait entrer en ligne de compte les poids du ballast porté par le patin du rail et la moitié de la traverse (on sait que la résistance totale au décollement est égale à 4 fois environ le poids des rails et des traverses). Toutefois il reste d'un ordre de grandeur admissible. On peut observer d'ailleurs qu'il représente localement. un maximum qui n'est atteint que

Au surplus, si ce résultat tendait à prouver que le rail peut se soulever légèrement en se décollant du sol, dans une région plus

30

cela n'in

ou moins étendue de part et d'autre de l'abscisse 4 a firmerait pas sensiblement les résultats généraux obtenus précédemment. On pourrait faire la correction nécessaire en considérant, en même temps que la charge P placée au droit du joint, 30 de part des charges complémentaires placées à une distance 4 a

et d'autre et égales à la différence entre le poids du rail et les réactions négatives qui lui seraient supérieures. Cette différence, tant qu'elle resterait petite, de l'ordre de grandeur de quelques centaines de kilos, ne saurait avoir d'effet important sur la résistance du rail. Il semble bien d'ailleurs qu'on ne constate pas de soulèvement du rail dans la pratique.

Il convient de ne pas oublier que les résultats défavorables trouvés pour l'about du rail supposent que les rails sont jonctionnés par une simple rotule, tandis qu'en réalité il y a une éclisse plus ou moins robuste qui transmet en partie les moments

fléchissants et rétablit plus ou moins la continuité du rail au droit du joint.

On peut en terminant faire les remarques suivantes. Les deux seuls éléments indépendants qui interviennent dans cette théorie sont le coefficient k qui mesure l'élasticité du sol de pose et I le moment d'inertie du rail. La quantité a est symboliquement de

quand I et k augmentent, mais l'influence d'une augmentation de I est relativement faible.

1

Quant aux moments fléchissants, ils sont de l'ordre de c'est

I

α

à-dire de l'ordre de K1. Ils diminuent quand k augmente et augmentent lentement avec I. Mais la fatigue du rail est, par

rapport à I de l'ordre I

3

4

si sa hauteur demeure constante.

Enfin, la réaction maxima du sol et, éventuellement, la tendance du rail au soulèvement, est de l'ordre de kv, c'est-à-dire

1 -1

KI

de l'ordre de K1. Toutes choses égales d'ailleurs, elle augmente avec k et diminue quand I augmente, mais d'une manière peu rapide toutefois. Ce qui importerait le plus pour parer au soulèvement de la voie, ce serait donc son poids propre, beaucoup plus que le moment d'inertie du rail.

XVI

CONCLUSIONS

Dans la première partie de cette étude, nous avons établi les formules permettant de déterminer facilement les efforts occasionnés dans une section d'un rail par des dénivellations quelconques données des appuis de ce rail. Ces formules permettent de résoudre complètement le problème dont l'objet forme le titre de notre étude, lorsque les charges agissant sur le rail sont pure

ment statiques ou peuvent être considérées comme telles. Nous avons utilisé notre méthode d'analyse pour démontrer l'inexactitude des relevés de Couard, après avoir préalablement démontré l'inexactitude de l'analyse faite par cet auteur de ses propres relevés.

On peut se demander s'il était bien nécessaire d'insister sur une méthode d'analyse ne s'appliquant en définitive qu'au cas exceptionnel de charges statiques. Mais nous ferons remarquer, d'une part, que nombre de voies de chemins de fer ne sont parcourues qu'à très petite vitesse et que l'expérience ne démontre pas que les ruptures de rails y soient beaucoup moins rares qu'ailleurs, et que, d'autre part, les déformations d'un rail sous des charges rapides semblent être la superposition de deux sortes de déformations qui peuvent se déterminer et s'analyser à part: les déformations que j'appellerai principales ont tout à fait l'allure des déformations produites par les mêmes charges agissant d'une façon statique seule l'échelle change, ce qui semble démontrer que la charge agissant sur le rail est une fonction de la vitesse; les déformations que j'appellerai secondaires et qu'on relève en même temps que les précédentes sont des vibrations dont la période et l'intensité paraissent fonction de la vitesse, de la répartition des charges, et probablement du moment d'inertie des rails et de l'état de la voie.

L'intérêt de notre analyse demeure donc bien établi.

Dans la deuxième partie de notre étude, nous avons cherché, en raisonnant sur un cas fictif et en adoptant des hypothèses aussi rapprochées que possible de la réalité, à déterminer a priori l'ordre de grandeur des déformations qui peuvent se produire dans une voie éclissée sous le passage d'une charge isolée agissant statiquement, ainsi que celui des moments fléchissants positifs et négatifs et des efforts tranchants.

Nous avons trouvé en particulier comme valeurs des moments fléchissants positifs et négatifs maxima les valeurs suivantes :

Cette dernière valeur se produit dans la section dont la dis

ficient de la voie égal au rapport entre la charge p par mètre courant de rail supposé supporté sur toute sa longueur et l'enfoncement v au droit de la charge (p=kv).

Dans le cas des voies de la Compagnie du Midi armées en rails de 38 kg., a paraît avoir une valeur très voisine de l'unité.

Nous avons appelé l'attention sur ce fait que le centre d'élection des ruptures de rails paraît bien être placé par rapport au

ದ

joint à la distance ainsi calculée : c'est dans cette section, en

α

effet, que les variations d'effort sont le plus accusées.

Quelle valeur pratique convient-il d'attribuer à la formule du

moment maximum M

=

Р 1,067 ? En faisant a = 1 et P = 4 a

9.000 kg., poids d'une roue d'un des plus forts essieux en usage sur le Midi, on trouverait pour M une valeur de 2.400 kgmt. correspondant à un effort de 16 k. 20 par mm2. Ce sont là des résultats admissibles bien qu'un peu élevés sans doute pour des charges purement statiques. Flamache, en supposant la voie composée de rails d'une longueur infinie couverte d'essieux en nombre indéfini de poids 2 P séparés par une distance 2 L, avait BP.L trouvé la formule M = B étant un coefficient très voisin 6

de l'unité.

Cette dernière formule donne, pour les distances courantes 2 L d'essieux de locomotives, des efforts sensiblement moindres que la précédente et il n'y a pas lieu d'en être surpris eu égard aux hypothèses différentes sur lesquelles reposent ces deux formules.

On pourra, faute de mieux, utiliser la première de ces deux formules qui donne des résultats plus défavorables que celle de Flamache pour apprécier l'ordre de grandeur des efforts produits par un matériel donné sur une voie de type connu, mais nous

ferons remarquer encore une fois, qu'à défaut d'expériences précises, il convient de n'accepter que sous réserve les résultats de calculs basés sur l'emploi de cette formule ou de tout autre ne reposant comme elle que sur la théorie pure.

Post-scriptum. La présente note, présentée d'abord en octobre 1917, puis remaniée, était soumise à nouveau à la Commission des Annales lorsque nous avons pu prendre connaissance de l'important rapport soumis en novembre 1917 au Comité d'Études des Voies ferrées de la Société américaine des Ingénieurs civils et inséré dans le no de janvier 1918 des Proceedings de ladite Société. Des résultats expérimentaux du plus haut intérêt s'y trouvent consignés au sujet des efforts développés dans les diverses parties des voies étudiées et notamment dans les rails, dans des conditions très variées, et ils constituent dans leur ensemble la justification de la théorie que nous avons présentée dans les paragraphes 12 et suivants de notre note et qui se trouve justement avoir été prise comme point de départ par la Commission américaine d'expériences. Toutefois cette Commission n'a envisagé, comme les précédents auteurs, que le cas simple d'un rail indéfini (1er cas de la note ci-dessus) et n'a pas jusqu'ici donné de résultats en ce qui concerne les charges et les points voisins des joints qui sont encore, en général, des points faibles dans les voies ferrées. La note ci-dessus conserve donc son intérêt et cet intérêt se trouve même considérablement accru par la justification des hypothèses initiales. Elle peut conduire à l'explication de certaines anomalies expérimentales. Il serait à souhaiter que l'exemple des recherches faites en Amérique incitât les Compagnies françaises à entreprendre des recherches analogues sur leur propre matériel, car les voies françaises diffèrent assez sensiblement dans leur constitution des voies américaines.