n'atteint nulle part de valeurs négatives supérieures à la résistance au soulèvement par mètre courant de voie, résistance qui provient du poids des rails, traverses et accessoires et de l'adhérence du ballast. L'expérience a d'ailleurs démontré que cette résistance était égale à 4 fois au moins le poids de la voie par mètre courant (rails, traverses et accessoires). Toutes ces hypothèses sont conciliables et font du système un ensemble parfaitement élastique. Supposons une charge P appliquée en un point quelconque o du rail, à la distance o'om du joint. Désignons par k le rapport de proportionnalité des réactions aux déplacements de sorte que l'on ait partout : p = k v Désignons par I le moment d'inertie du rail et posons: 4/K En un point quelconque, soit du rail de gauche, soit de chacun des tronçons du rail de droite, on a pour équation différentielle de la ligne élastique: Les Métant comptés positivement quand ils tendent à donner à la pièce une concavité vers le haut, suivant l'usage. Telle est l'équation différentielle des déplacements. Son intégrale générale est connue. Elle est de la forme : les quatre constantes étant à déterminer dans chaque tronçon d'après les conditions qu'il remplit à ses deux extrémités. Supposons l'origine des coordonnées au point o d'application de la charge P, l'abscisse du joint o' étant m. Nous désignerons par des lettres simples les quantités qui se rapportent au tronçon central, par des lettres accentuées celles qui se rapportent au tronçon de droite, et par des lettres doublement accentuées celles qui se rapportent au rail de gauche. = 0, car sans cela Pour le tronçon de droite, on aura A′ B': on aurait pour v'une valeur infinie pour x = ∞. Pour le rail de gauche, on aura C′ = B′′ =0, car sans cela on aurait pour v" une valeur infinie pour x =—∞. Cela posé, on simplifie la détermination des autres constantes en faisant les calculs préalables ci-après. On trouve facilement que pour toute fonction de la forme supposée on a : =Ae (cos a x -— sin a x) + Be Ce (cos xx) + sin a x) +De (cosa x - sin a x) On en déduit les relations suivantes qui ne contiennent que le des constantes A et B ou le groupe C et D. groupe De (cos a x + sin a x) Il en résulte qu'en tout point du tronçon de droite, et particulièrement pour le point o, on a les deux relations : qui se déduisent de (16) et (18), puisque A'B' = 0. En tout point du rail de gauche, et particulièrement pour le point o', on a les deux relations : qui se déduisent de (17) et (19) puisque C" =D"=0. Or, au point o, on a les conditions: d2 v d2 v' On en conclut pour v les deux conditions ci-après, valables pour le point o, c'est-à-dire pour x = 0. Ces conditions reviennent, en vertu de cularisées pour x = 0 à : P (16) et (18), parti Il en résulte pour v les deux nouvelles conditions : Ces conditions reviennent, en vertu de (14) et (19) particula am am cos a m -Ce sin a m Ce (cos amsin am) + De (cos am En tenant compte de ce que B am cos am=0 sin a m)=0. A on en déduit aisé = Revenant au tronçon de droite on déterminera C' et D' en écrivant que pour x = o on a : On pourrait enfin déterminer A" et B" dans le rail gauche en tenant compte des relations : mais nous n'aurons pas besoin d'employer leur expression, car Ann. des P. et Ch. MÉMOIRES, 1918-VI. 20 nous ne nous occuperons que du rail de droite qui supporte la charge. En tenant compte des valeurs trouvées pour A B C D (tronçon central ou de gauche) et pour A' B' C' D' (tronçon de droite), on calcule facilement les expressions suivantes, où A désignera la quantité v' -xx P 8 EI & 1o Tronçon de droite. -2xmxx [cos xx + sin xx] + e e [(1-sin 2 am) cos ax cos 2 am sin ax] 2αm-xx sin ax+e e [cos 2 am (sin ax —cosxx) — sin 2 am) (sin a x + cos x x)] 2e (1 1 22 v' Cette formule se déduit de la formule correspondante relative au tronçon de droite en changeant x en — x dans les termes non multipliés par e compte les positifs à partir de o vers o', les premiers termes demeurent au contraire sans changement, et il faudra changer les autres restant les mêmes. Si on - 2x m x en x dans les termes multipliés par e Nous appellerons termes principaux ceux qui ne sont pas multipliés par e termes complémentaires les autres. |