réseau est prédominante, contrairement à ce qui se passe sur la plupart des autres voies françaises, la Seine exceptée, ces autres voies étant principalement exploitées par de la batellerie indépendante. De ce fait, il résulte un défaut de concurrence extrêmement nuisible au développement de la navigation. En définitive, le réseau de la Saône est, comme nous l'avons dit, un distributeur de charbon; son insuccès vient donc de ce que le pays qu'il dessert consomme très peu de houille et que la grande industrie y est relativement peu développée. On peut espérer qu'elle prendra une extension nouvelle après la guerre, mais il importe de ne pas perdre de vue que dans cette région, comme presque partout en France, la politique en matière de navigation est liée étroitement à la politique charbonnière. Cela est vrai surtout dans la vallée de la Saône dont la clientèle est partagée entre les houillères du Nord, celles 'de Belgique, celles de la Sarre et celles de Westphalie sans compter les mines locales. Dans une région qui tire ses charbons de mines aussi éloignées, l'importance de grands ports fluviaux est particulièrement grande pour constituer des stocks. Ces ports sont donc très désirables surtout à Lyon; ils provoqueraient un développement du trafic en même temps que de l'industrie. Après la guerre, le réseau de la Saône aura des éléments de succès nouveaux et très importants: les mines de potasse de la région de Mulhouse, et une meilleure communication qui pourrait être établie avec la grande artère du Rhin. : De sérieux progrès ont été réalisés depuis la guerre, grâce surtout à l'Office national de la Navigation des services publics de traction ont été créés; des raccordements ont été établis entre la voie d'eau et la voie ferrée, etc. Le moment n'est pas encore venu d'apprécier ces importantes réformes. N° 43 CHRONIQUE Note sur la quadrature d'aires limitées par des arcs de PAR M. GOUPIL, Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées. Dans son traité de Calcul Graphique et Nomographie (O. Doin, éditeur), M. d'Ocagne, exposant en détail l'intégration au moyen de contours paraboliques, rappelle qu'il a établi dans les Nouvelles Annales de Math. (4° série, t. V, 1905), le théorème suivant: Si, ayant pris sur une parabole, 2p + 1 points dont les ordonnés soient équidistant on fait passer par ces points une parabole p+1 quelconque, la somme algébrique des aires comprises entre les deux paraboles dans l'intervalle des ordonnées extrêmes est nulle. M. Le Besnerais, Ingénieur Principal de la Marine, dont nous avons signalé autrefois l'intéressant travail en collaboration avec M. Fortant sur la Houle et le Clapotis (1) nous a communiqué une généralisation ingénieuse du théorème ci-dessus : Si l'on prend sur une parabole de degré 2 p, 2 p + 1 points dont l'un quelconque et les 2 p autres sur 2 pordonnées symétriques 2 à 2 par rapport au premier, toutes les paraboles p+1 passant par ces 2 p1 points ont, entre deux ordonnées quelconques symétriques, même aire que la parabole p Ce fait résulte immédiatement de la remarque que les paraboles envisagées ont pour équation : y = f (x) + − K x (x2 — a2) (x -a a) · (x2 — a3) la différence y f (x) devant s'annuler pour les 2p+1 points o, a, a2..... an el - an. a, a et Partant, deux ordonnéee symétriques de la courbe y f(x) seront égales et de signes contraires, donc l'aire de cette courbe entre deux ordonnées quelconques et xl doit être nulle, ce qui établit bien la proposition énoncée. = Dans le cas particulier de la parabole cubique, les propriétés relatives au centre d'ordonnées moyennes (d'Ocagne, loc. cit., p. 100) s'établissent très simplement en rapportant son équation à l'ordonnée médiane; on aura, en appelant y, et y, les ordonnées extrêmes d'abscisses 1 et + 1. - + Y. et celle de M11; on a donc bien pour le milieu de W M 2 D'autre part, l'aire de la parabole est donnée par l'intégrale : + 2d et l'aire du trapèze z A Bẞ étant y, + y2 = = 2 (bd), l'aire du segment de parabole sera la différence tandis que l'aire A ST BAW B est mesurée par M W ou 2 MC= - 2 b, elle est donc les 2/3 de cette dernière. On peut mettre à profit ces observations pour augmenter notablement le degré d'exactitude des quadratures obtenues par la méthode de Poncelet. Il est extrêmement remarquable qu'en prenant des arcs paraboliques du troisième degré on soit ramené à la formule de Poncelet pour la partie courante du diagramme, sauf les corrections à faire subir aux ordonnées extrêmes, comme il est indiqué ci-après : +1 Fig. 2. Considérons le panneau élémentaire compris entre les deux ordonnées consécutives y el y + 1; en supposant le diagramme limité à la partie supérieure par une parabole cubique, l'aire comprise dans ce panneau sera égale à : et k et l'on voit immédiatement en ajoutant 4k 12 k mation donnera bien l'unité comme coefficient de y +1 |