diquer pour ses actionnaires des dividendes ayant un pouvoir d'achat comparable à ceux qui auraient pu être distribués sans l'intervention du concédant.

De même, s'il s'agit d'une entreprise qui réalise des bénéfices et ne grève pas le budget de l'autorité concédante, l'affaire conşerve son caractère industriel, et le concessionnaire est en droit de s'attribuer une rémunération variable avec l'indice monétaire.

Cela posé, on est conduit à rechercher, dans le cas où le principe de la rémunération proportionnée au niveau des prix est admissible, s'il est possible d'éviter les inconvénients résultant, comme il a été dit précédemment, de l'adoption de formules défectueuses.

Pour éviter de telles conséquences, il suffira de choisir un système de primes rationnellement établi, et de le compléter par l'adoption d'un index calculé, par exemple, en fonction d'un indice du niveau général des prix, ou d'un indice du coût de la vie, indépendant des résultats propres à l'entreprise considérée.

Pour l'application d'un tel index on devra naturellement tenir compte de l'affectation des sommes attribuées au régisseur à titre de rémunération et notamment de la répartition du capital à rémunérer entre les actions et les obligations.

Il faut éviter en effet que l'intervention d'un index puisse procurer aux actionnaires des dividendes variant plus rapidement que l'indice choisi.

Si l'on désigne par exemple par pet q les proportions dans lesquelles figurent respectivement les obligations et les actions pour la constitution du capital à rémunérer, et par x l'indice servant de base aux variations, on pourra multiplier la prime par un index de la forme I=p+q, xo désignant la valeur de l'indice à l'instant origine.

Хо

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE.

Pour la discussion d'une formule de prime calculée en fonction de la recette et de la dépense, il peut être intéressant de recourir à une interprétation graphique.

On considère à cet effet (figure 1) un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires d'axes OR et O D, tel que la recette soit portée en abcisse et la dépense en ordonnée. D Dans un tel système, le coefficient d'exploitation c= est R représenté par le coefficient angulaire de la droite OM joignant l'origine au point M de coordonnées R et D.

La prime est calculée par une expression de la forme P=F (R,D).

On trace la famille des courbes d'égale rémunération correspondant à l'équation générale dP=O ou encore F (R,D)=1, I désignant une constante déterminée pour chacune des courbes L de la famille.

Toute courbe L divise le plan en deux régions correspondant respectivement aux inégalités d P>o et d P <0.

Étant donné une situation de l'entreprise considérée, représentée par un point M, par lequel passe une courbe L, le régisseur a intérêt à déplacer ce point vers la zone correspondant à l'inégalité dP>0; au voisinage du point M cette zone peut

être assimilée à la partie du plan située d'un côté déterminé de la tangente T T' en M à la courbe L.

R

D

En substituant la tangente à la courbe on effectue la même approximation qu'en utilisant la relation d P=F' dR+F', dD, dont il a été longuement question dans les développements qui précèdent.

Le coefficient angulaire de la tangente en M à la courbe L ayant

d D

pour expression = à la dérivée de D par rapport à R, on

dR

voit que le coefficient d'intéressement i est égal à l'inverse du coefficient angulaire de la tangente en M.

Il suit de là que le système de primes considéré est d'autant plus défectueux que les courbes d'égale rémunération correspondant à ce système forment un angle plus grand avec l'axe horizontal OR; le système théoriquement le meilleur serait obtenu par une prime de la forme: P=a+m (R-D) représentée par une famille de droitès d'équation générale R-D=/ parallèles à la première bissectrice et correspondant à un coefficient d'intéressement égal à l'unité.

Nous avons vu qu'en pratique on pouvait admettre des systèmes présentant un coefficient d'intéressement inférieur à l'unité, à condition de ne pas trop s'écarter de cette valeur limite; cela revient à dire que les courbes d'égale rémunération pourront être plus inclinées sur l'axe des recettes que la première bissectrice, sans cependant trop s'écarter de cette direction.

La qualité d'un système de primes pourra être ainsi appréciée par l'inclinaison des courbes d'égale rémunération au voisinage du point correspondant aux conditions d'application; on pourra même adopter pour mesures précises de la qualité du système l'angle de la tangente avec la première bissectrice, le système étant d'autant plus recommandable que cet angle est plus faible.

Si l'on se propose par le choix judicieux d'un système de primes d'améliorer le coefficient d'exploitation, au lieu de la différence (R-D) on remarquera que le concessionnaire peut être incité à augmenter le coefficient d'exploitation en vue d'accroître sa prime; c'est ce qui se produit notamment dans l'angle hachuré

ZMT de la figure 1, il peut même être intéressant de calculer la valeur de cet angle ŽMŤ dans certains cas particuliers.

Or, cet angle a une expression simple, si l'on définit les courbes d'égale rémunération, non plus dans un système de coordonnées cartésiennes, mais dans un système de coordonnées polaires, w, d'axe OR et de pôle O. Dans un tel système, l'angle V de la tangente en M à la courbe L d'équation F (p, w)=l, avec le rayon vecteur OM est définie par l'équation: tg V=

la dérivée de par rapport à .

p' désignant

On est ainsi conduit à distinguer les courbes dont la concavité est tournée vers le bas, de celles dont la concavité est tournée vers le haut. Pour les premières, l'angle de la tangente avec l'axe polaire décroît lorsque le coefficient d'exploitation augmente, de sorte que la formule est d'autant moins défectueuse que les résultats de l'exploitation sont eux-mêmes plus mauvais; on se trouve alors dans une situation un peu analogue à celle d'un équilibre stable; c'est le cas de la figure 1.

Dans le cas opposé où la concavité est tournée vers le haut, le coefficient angulaire de la tangente croît lorsque le coefficient d'exploitation augmente, de sorte que la formule devient plus défectueuse lorsque les résultats de l'exploitation le deviennent eux-mêmes; on peut assimiler ce cas à celui d'un équilibre instable.

Remarquons en dernier lieu que le sens de l'erreur commise en assimilant la courbe L à sa tangente en M, c'est-à-dire en utilisant le coefficient d'intéressement correspondant au point M peut être immédiatement obtenu en considérant le signe de la zone dans laquelle se trouve située la tangente par rapport à la courbe L passant par M.

Nous ferons application des considérations qui précèdent à l'étude de certains cas concrets empruntés à la matière des voies ferrées d'intérêt local.

L

EXEMPLES EMPRUNTÉS AUX VOIES FERRÉES D'INTÉRÊT LOCAL.

1o Prime proportionnelle à la recette brute et pénalité proportionnelle au déficit.

Dans les contrats de régie intéressée passés au cours de ces dernières années, pour l'exploitation des voies ferrées d'intérêt local, on rencontre fréquemment un système de rémunération consistant en une prime proportionnelle à la recette brute, cette

Fig. 2.

R

Courbes d'égale rémunération dans le cas d'une prime égale à 5% de

la recette brute et d'une pénalité égale à 5°/。 du déficit, avec maximum égal à la moitié de la prime.

prime étant diminuée, jusqu'à concurrence d'une fraction déterminée de son montant, d'un pourcentage du déficit d'exploita

tion.

Le système est ainsi représenté par une équation de la forme : PaRb (DR), cette formule n'étant applicable que si la pénalité b (D — R) est inférieure à la fraction ma R de la prime a R.

Dans cette hypothèse, le coefficient d'intéressement a pour expression

b

a+b

; il peut donc être très faible, et la formule est