19. LE QUOTIENT DES DEUX SÉRIES A COEFFICIENTS POSITIFS, ABSO En effet, prenons un quotient de deux pylonômes à un nombre Je dis qu'il décroît quand x croît de o à l'infini. Prenons la dérivée, son dénominateur est un carré parfait, donc toujours positif; le numérateur est : Pour écrire les coefficients des puissances de rx croissantes, il suffit d'écrire ceux provenant du premier terme, puis de chan ger a en b et b en a et de faire précéder du signe ce qui provient du second terme. pour obtenir Le coefficient du terme général de degré r inférieur à e1 s'écrira : Les différences des termes écrits l'un au-dessus de l'autre seront positives toutes les fois que Or, dans cette suite de différences, l'indice de a passant de 1 à ret celui de b de r à 1, la même différence se rencontrera toujours deux fois avec des signes contraires. Mais les différences étant précédées d'un facteur égal au premier indice de a, on aura : (q-p) (aq bp ap ba p (ap bq — aq bp) + q (aq bp — bq ap) expression toujours négative si pq ou nulle dans le cas où p = q. Donc la suite des différences jusqu'à la dernière (ar + 1 b -bra) formera un nombre négatif, cette dernière différence sera également négative. On reconnaît de même que terme de degré n, a un coefficient négatif. Dans ce terme manque la dernière différence. Dans les termes de degré supérieur à n, il en est de même, car le terme de degré p+n - 1 coefficient a pour pap bn +p+1) ap + 1 n−1+ +n an bp bpan (p1) bp÷1 an−1 + + ... ... +nap quantité négative d'après le raisonnement précédent. La dérivée étant toujours négative pour r>o, l'expression décroît quand r croît. Cette propriété étant vraie quelque grand que soit n est vraie à la limite pour le quotient des séries, suivant un raisonnement usuel. 20. LES SECTIONS, DE LA PLAQUE RECTANGULAIRE POSÉE, PARALLÈLES AUX CÔTÉS, PRENNENT SOUS LA CHARGE UNIFORME UNE COURBURE DONT LA CONCAVITÉ EST PARTOUT TOURNÉE VERS LE HAUT. En effet, la dérivée seconde, par rapport à y, de l'expres (A étant une quantité positive indépendante de x et de y) est : Cette dérivée seconde a déjà été calculée pour la justification du développement en série simple : 1+ Ch z b α Tenons compte de z = i = et posons pour simplifier : y 0 <6′ < 1, 6' < 1, 0 +0' 1 is p3 'Ship + 0 Shi o' Où en développant les Sh et Ch en série : d 1 + Ch i ? C étant une quantité positive indépendante de x et de i. Or les quotients des coefficients des mêmes puissances de iş au numérateur et au dénominateur, satisfont aux relations: et à fortiori 02k +0′2k 02k+ 2 + 0⁄2k + 2 2k + 1 2k +3 La limite de ces rapports est zéro, car celle des numérateurs est zéro pour tous les points intérieurs au contour de la plaque et celle des dénominateurs est l'infini. La série qui entre dans terme, puisqu'elle est de la forme A; sin i z, A; ayant un signe constant et décroissant continuellement jusqu'à zéro quand i croît. De plus cette série est convergente pour toute valeur de c intérieure à la plaque. a donc le signe de son premier L'expression ayant le signe -, la concavité de la courbe est tournée partout dans le sens des w négatifs, c'est-à-dire en sens inverse du sens d'action des charges ou vers le haut. 21. DANS TOUTE SECTION PARALLÈLE A UN CÔTÉ DE LA PLAQUE RECTANGULAIRE, L'effet de LA CHARGE UNIFORME EST DE PRODUIRE UN ABAISSEMENT CROISSANT CONSTAMMENT DU CONTOUR A L'AXE. En effet, par raison de symétrie, la tangente sur l'axe est horizontale. La courbure étant dirigée vers le haut, la courbe s'élève de part et d'autre de l'axe. D'après les suppositions de la résistance des matériaux, l'inclinaison reste toujours très petite, elle n'atteint donc jamais la verticale. La courbure étant toujours de même signe, la section déformée s'élève constamment de l'axe au pourtour. 22. TOUT POINT DE LA PLAQUE RECTANGULAIRE S'ABAISSE AU-DESSOUS DU CONTOUR SOUS L'ACTION DE LA CHARGE UNIFORME. C'est la conclusion immédiate du paragraphe précédent. 23. LE CENTRE EST LE POINT LE PLUS ABAISSÉ DE LA PLAQUE. En effet, si l'on suit, pour passer du centre à un point quelconque, un trajet formé de deux sections parallèles aux côtés, on monte constamment le long de ce trajet, d'après ce qui vient d'être dit. 24. EN AUCUN POINT DE LA PLAQUE RECTANGULAIRE DÉFORMÉE PAR LA CHARGE UNIFORME, AUTRE QUE LE CENTRE ET LES ANGLES, LE PLAN TANGENT N'EST HORIZONTAL, La ligne de la plus grande pENTE EST TOUJOURS DIRIGÉE VERS L'INTÉRIEUR DE L'ANGLE DES PARALLÈLES AUX CÔTÉS CONTENANT LE CENTRE, ET Y ABOUTIT. Considérons en effet un quart de plaque quelconque A S B C, de centre C et un point M dans ce quart de plaque. Traçons par le point M les deux sections parallèles aux côtés du contour. En M ces sections descendront vers les axes CA et CB de la plaque. Donc, sauf en C ou en S, les plans tangents ne seront pas horizontaux. A H M + H D'autre part, les droites des plans tangents dirigés dans ces sections seront toujours audessus du point M dans les parties marquées c sur la figure et en dessous dans les parties marquées. L'horizontale du plan tangent H H' passera dans les angles, et la ligne de la plus grande pente MP qui lui est perpendiculaire dans l'angle qui contient le centre. On pourrait encore dire, si l'on préférait que la ligne de plus grande pente s'éloigne constamment des deux côtés du contour les plus rapprochés. Toute ligne de plus grande pente part normalement à un des côtés du contour (puisque ceux-ci sont des horizontales). Elle pénètre dans des rectangles concentriques au centre dont les côtés diminuent de quantités finies pour un allongement fini de cette ligne de plus grande pente. Elle ne peut aboutir à un axe ailleurs qu'au centre, car sans cela en ce point le plan tangent serait horizontal. Les lignes de plus grande pente et les courbes de niveau de la surface déformée n'ont aucun point double autre que le centre et les angles. |