offrent aux véhicules une surface très roulante. Cet avantage est particulièrement apprécié des usagers de la route utilisant des automobiles. La circulation devient pour eux plus agréable; les dépenses d'essence et d'entretien des véhicules sont réduites;

2o Les chaussées silicatées donnent par rapport aux chaussées ordinaires supportant une circulation moyenne, une économie qui peut, suivant les régions, varier de 30 à 80 % et plus par rapport aux dépenses qu'on devrait engager annuellement pour entretenir convenablement les routes, en employant les anciens procédés ;

3o Elles donnent moins de poussière et surtout beaucoup moins de boue que les chaussées ordinaires;

4o Le dégel est sans influence sur elles;

5o Elles sont moins sonores que les chaussées ordinaires;

6o Les chaussées silicatées qui durent au moins trois fois plus longtemps que les chaussées ordinaires, exigent des rechargements moins fréquents, d'où réduction sensible de la gêne causée aux usagers par les rechargements des routes.

IX. RECHARGEMENTS SILICATÉS EXÉCUTÉS EN 1922 ET 1923 DANS LE DÉPARTEMENT DU DOUBS ET PROGRAMME POUR LES ANNÉES SUIVANTES

Dans le cours des années 1923 et 1924, le Conseil général du Doubs a consacré une somme totale d'un million pour construire des revêtements silicatés. A la fin de la présente année, la longueur construite atteindra trente kilomètres.

Dans sa session d'août 1924, le Conseil général, sur la proposition de M. l'Ingénieur en Chef Blaise, a décidé de silicater, en trois années, toutes les grandes lignes vicinales supportant une circulation journalière de 400 colliers au moins. La longueur des routes supportant une circulation aussi forte est de 230 kilomètres, ce qui représente environ le dixième de la longueur totale des grandes lignes vicinales du département. L'effort à faire consiste à construire encore 200 kilomètres de

chaussées silicatées. Pour le réaliser, le Conseil général a voté un crédit de deux millions pour exécuter la première partie de ce programme en 1925.

Nous pensons que, dans les régions calcaires, l'emploi du silicate de soude est susceptible de résoudre économiquement le problème de la route de moyenne fréquentation.

Nous estimons que les méthodes que nous employons sont perfectibles; que, d'ici à quelques années, les résultats obtenus seront très supérieurs à ceux acquis jusqu'ici et qu'en la matière le dernier mot est loin d'être dit.

N° 29

CHRONIQUE

Poutre droite chargée de bout
dans un milieu élastique.

Par M. PIGEAUD,

Inspecteur général des Ponts et Chaussées.

Soit OA une poutre, de longueur supposée comprimée par deux F appliquées suivant son axe longitudinal, qui est sup

forces Fet

Si une cause accidentelle la déforme de manière qu'un de ses points G vienne en G', en subissant un déplacement GG'=y, la réaction du milieu tend à la ramener vers sa position d'équilibre. L'intensité de cette réaction est supposée proportionnelle au déplacement y, de sorte que la réaction appliquée à un élément de longueur dx, comprenant le point G, sera de la forme ɛydx, e étant un coefficient constant caractéristique du milieu environnant.

L'équation d'une courbe déformée qui serait stable doit, si elle existe, satisfaire aux conditions suivantes :

en désignant par M le moment fléchissant au point G'.

D'autre part on a évidemment :

MFy M'

Ann. des P. et Ch., MÉMOIRES, 1924-V

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si on désigne par M' le moment fléchissant qui provient seulement des réactions du milieu, et éventuellement des conditions d'appui, ou encastrements, aux extrémités.

On sait d'ailleurs que l'on a la relation :

On en déduit, en dérivant deux fois par rapport à x la première relation, dans laquelle M, pujs M', sont censés remplacés par leur valeur :

La fonction y, pour exister, doit donc satisfaire à cette équation différentielle, qui est linéaire, à coefficients constants et sans second membre. Son intégrale générale s'obtient par la sommation des intégrales particulières correspondant aux quatre racines de son équation caractéristique. Elle contient donc quatre constantes arbitraires et est linéaire et homogène par rapport à ces constantes.

Ces dernières sont à déterminer par les conditions aux limites, lesquelles consisteront toujours, et tout au moins dans les deux cas que nous examinerons, à égaler à zéro les valeurs de y et de quelqu'une de ses dérivées aux deux extrémités de la poutre. On obtiendra ainsi quatre équations simultanées linéaires et homogènes par rapport aux constantes, de sorte que dans le cas général, lorsque F est quelconque, toutes les constantes doivent être nulles, et la forme rectiligne est la seule qui convienne à la poutre, y étant identiquement nul. Les valeurs critiques de F sont les valeurs particulières pour lesquelles le déterminant des équations devenant nul, les constantes, ou certaines d'entre elles tout au moins, peuvent être différentes de zéro. Elles sont alors indéterminées en valeur absolue, leurs rapports seuls étant déterminés, et y n'est connu qu'à un facteur près. C'est en cela que consiste l'instabilité de forme de la poutre.

Si l'on a F 4 ΕΙ€ o ou 2 F > 2 ET, cette équation a deux V racines en S' réelles et positives, que l'on peut désigner respectivement par k et k', de sorte que l'on trouve quatre racines réelles k et k', et on sait que l'intégrale générale écrite en termes réels est alors de la forme :

A sin k x + B cos k x + A' sin k' x + B' cos k' x.

Si l'on avait au contraire F<2/EIe, l'équation (2) aurait quatre racines imaginaires deux à deux conjuguées et deux à deux égales et de signe contraire. Si on désigne par k et k' deux racines conjuguées, on peut encore, au point de vue formel, adopter pour l'intégrale générale la même expression (3), 'étant entendu que pour la transformer en termes réels, on aurait à déterminer des constantes imaginaires A A' B B' qui seraient elles-mêmes conjuguées deux à deux.

Il est peu vraisemblable a priori que des valeurs critiques puissent se rencontrer dans ce second domaine, qu'on peut qualifier de domaine imaginaire, l'autre étant appelé domaine réel. Cela est tout au moins impossible lorsque le point frontière F = 2 VET demeure inférieur à la plus petite valeur critique d'Euler, en milieu non élastique, valeur qui est toujours finie. Il sera d'ailleurs très aisé de vérifier, dans chacun des deux cas que nous examinerons, que le domaine imaginaire (F2 VEI) ne peut fournir aucune valeur critique. Quoi qu'il en soit, les racines k et k', réelles ou imaginaires conjuguées, satisferont toujours aux deux relations:

de sorte que si l'on a obtenu, en annulant le déterminant des équations de condition aux limites, un groupe de valeurs k et k' convenant à une valeur critique f, cette valeur critique aura pour expression:

(5) f = EI (k' + k')

ou encore l'expression équivalente :

EI (k − k')2 + 2 √√EIɛ.

(6) f = EI [(k — k')' + 2 k k'] Cette dernière expression met en évidence ce fait important que la plus petite de toutes les valeurs critiques possibles, celle qui est la seule intéressante en pratique, correspond nécessairement au groupe de valeurs associables k et k' qui s'écartent le moins l'une de l'autre, et par suite aussi de leur moyenne géométrique, laquelle, en vertu de (4), reste constante pour tous les groupes et égale à

EI

Nous avons laissé de côté dans ce qui précède le cas où l'on aurait précisément F = 2 VETE, c'est-à-dire le cas où l'équation en S aurait deux racines doubles. Dans ce cas l'intégrale générale de l'équation