tale du centre de gravité. Leur substitution aux sections symétriques ne procurera cependant qu'une assez faible réduction de poids, la différence de symétrie de la section diminuant peu la pression maximum pour les arcs surbaissés, et cette différence devant être assez limitée pour les arcs se rapprochant du plein cintre par suite de l'importance que prendrait autrement la tension maximum.

Dans le cas particulier que nous avons traité, la réduction de poids serait de 157.333 ou 2.97 seulement pour cent en employant la section non symétrique représentée fig. 10, pl. 12.

Le calcul des sections non symétriques consiste du reste dans l'emploi de formules en tout semblables à celle des sections symétriques.

2° Calcul des arcs à section variable. Une extension fort simple des formules du cours de M. Bresse permet de calculer les différentes sections d'un arc, de manière à ce que le travail maximum par unité de surface y soit sensiblement constant et égal à une limite supérieure déterminée; il sera donc toujours possible d'obtenir le minimum du poids du métal à employer ou bien encore d'atteindre ce résultat avec toute l'approximation désirable.

Les calculs auxquels cette recherche conduira seront exactement les mêmes que les sections adoptées soient symétriques ou non par rapport à l'horizontale du centre de gravité, et les applications numériques que nous avons données montreront suffisamment qu'il ne saurait y avoir de difficulté à les entreprendre.

3° Avantages de la substitution des arcs à section variable aux arcs à section constante. Il résulte des nombres

obtenus dans le cas particulier que nous avons traité.

1° Que l'emploi du premier arc représenté, fig. 6 et 9, à section constante et symétrique est désavantageux.

2° Que l'emploi du deuxième arc (fig. 7, 11, 12 et 13) à

section continue renforcée vers la clef conduirait à une économie de 6.706 pour cent.

3° Qu'en employant le troisième arc (fig. 8, 14, 15 et 16) à section génératrice dont la hauteur décroît des naissances à la clef, l'économie réalisée serait de 4.531 pour cent.

On voit par ces nombres que l'avantage de la substitution de l'un ou l'autre des deux derniers arcs n'est pas trèsimportant, et bien que ces nombres n'aient rien d'absolu, on peut cependant en déduire que l'économie réalisée par la substitution des sections variables aux sections constantes sera moins importante pour les poutres en arc que pour les poutres droites. Cela tient à ce que la forme en arc répartit les efforts des charges extérieures dans chaque section de la poutre d'une manière bien moins irrégulière que ne le fait la forme rectiligne.

Quoi qu'il en soit, l'emploi des sections variables, symétriques ou non par rapport à l'horizontale du centre de gravité, n'en étant pas moins rationnel en ce qu'il conduit en définitive à une réduction de poids, nous allons indiquer d'une manière générale les résultats qui pourront être obtenus, et dans quels cas il y aura lieu de préférer l'une ou l'autre des trois formes d'arc que nous avons considérées dans les applications numériques.

1o Pour tous les arcs dont le rapport

f

2 a

est inférieur à

la réduction de poids sera d'autant plus grande que l'arc sera plus surbaissé, et l'emploi du deuxième arc sera toujours préférable à celui du troisième.

2o Pour tous les arcs dont le rapport

f

2 a

est compris entre

et l'économie réalisée sera très-faible, et la forme de la section de l'arc sera pour ainsi dire indifférente.

3° Pour les arcs enfin dont le rapport

f

est plus grand

2 a

que l'économie sera d'autant plus importante que la courbure de l'arc se rapprochera davantage du plein cintre; pour ces arcs elle sera relativement plus grande que pour ceux de la première série, et la forme du troisième arc sera généralement plus avantageuse que celle du second.

4° La forme du troisième arc dont la hauteur décroît des naissances à la clef, toutes les autres dimensions de la section restant constantes, n'est rationnelle que pour les arcs de la troisième série, la hauteur devrait varier en sens contraire pour ceux de la première. Pour ces derniers arcs, dont le f

rapport est inférieur à, cette forme ayant cependant

2 a

une raison d'être, en ce qu'elle satisfait la vue, et qu'elle se trouve en cela d'accord avec la forme assez souvent donnée aux bandeaux en pierre de taille des arcs en maçonnerie, il sera toujours possible de l'admettre en renforçant une ou plusieurs des autres dimensions de la section au fur et à mesure de la diminution de la hauteur.

Nous rappellerons enfin, en terminant, l'une des conclusions du cours de M. Bresse (page 298, § 130), de laquelle il résulte que pour des arcs à section constante et symétri– ques placés dans les mêmes conditions d'ouverture et de charge totale uniformément répartie suivant l'horizontale, la flèche la plus avantageuse à adopter sous le rapport du poids de l'arc, est celle qui fournit une valeur du rapf

port comprise dans tous les cas entre et, et qui est

2 a

suffisamment déterminée quand on a une fois fixé la hauteur de la section de l'arc.

Si donc, pour des motifs particuliers, et comme on le fait assez souvent, on adopte des arcs plus surbaissés, on pourra diminuer l'augmentation de poids qui en résulte pour des arcs à section constante, en employant des arcs à section

renforcée vers la clef; l'importance plus faible des tympans de ces arcs sera en outre une cause de réduction dans le poids total du tablier.

Si, au contraire, on adopte une forme se rapprochant davantage du plein cintre, il y aura intérêt à substituer aux arcs à section constante les arcs à section renforcée depuis les reins jusqu'aux naissances.

CHRONIQUE.

Juillet et Août 1861.

SOMMAIRE.

Chemins de fer de l'Inde anglaise.— Bulletin bibliographique.

Chemins de fer de l'Inde anglaise.

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Le rapport annuel sur les chemins de fer de l'Inde vient d'être présenté au parlement. La question du commerce du coton donne une importance actuelle toute spéciale à ce document; nous lui empruntons les faits suivants :

En jetant les yeux sur la carte de l'Inde qui accompagne le rapport, on est frappé de la faible étendue des lignes terminées comparativement aux lignes à exécuter. Toutefois l'état d'avancement réel de cette grande entreprise est beaucoup plus satisfaisant qu'on ne serait porté à le supposer à première vue. Il est vrai que sur 6 094 kilomètres de chemins entrepris il n'en a été encore ouvert que 1 355 kilomètres. Mais l'avancement des travaux permet d'espérer que l'on pourra livrer à la circulation 1 397*.6 de chemins de fer en 1861 et 1 192*.8 en 1862.

Les frais d'établissement ont malheureusement dépassé de beaucoup les prévisions. Le prix moyen du kilomètre, estimé 186 426 fr., s'élèvera au moins à 248 120 francs. On est obligé de faire venir d'Angleterre toute la partie métallique. Les transports de cette espèce se sont élevés l'année dernière à 234 710 tonnes, représentant une valeur de 53517575 francs.

Quelques travaux très-considérables restent encore à terminer, notamment sur le chemin de l'Est de l'Inde, de Delhi à Calcutta.