Si l'on désigne par l'angle que fait avec or la normale à l'élément sur lequel s'exerce une tension principale, c'est-à-dire l'angle que fait avec or la direction principale elle-même on a les relations équivalentes

L'équation différentielle des lignes isostatiques s'obtient donc en faisant tg 3

dy dx

dans cette dernière relation.

Dans le cas actuel, les expressions de N, N, N, étant linéaires et homogènes en x et y, cette équation rentre la catégorie des équations différentielles homogènes que l'on sait résoudre. On connaît le procédé classique. Quand on a

Dans le cas actuel l'intégrale qui figure en exponentielle est elle-même calculable, car (3) est une fonction rationnelle du 1er degré par rapport à z et au radical √(N, — N.)2 + 4 T3 qui n'est lui-même que du second degré en z.

Sans entrer dans une discussion analytique un peu compliquée, nous dirons simplement que lorsqu'il s'agit d'un massif à l'abri des sous pressions les deux parements sout nécessairement des lignes isostatique de première espèce, puisque la plus grande compression a est toujours dirigée suivant les parements, soit à

vide, soit en charge. Comme d'autre part deux courbes de même espèce ne peuvent se rencontrer qu'en un point singulier pour lequel les compressions sont égales dans toutes les directions cela suffit à montrer que toutes les courbes de cette espèce doivent se rencontrer au sommet du mur.

Si l'on se rappelle en outre que toutes ces courbes sont homothétiques à l'une d'elles par rapport au sommet, on en conclut même qu'elles doivent toutes partir tangentiellement à une même droite O T, qui fait partie de leur famille et qu'il est intéressant de déterminer.

Cette droite est telle qu'en l'un quelconque de ses points, de coordonnées y et x = y tg w = py, on ait

la quantité p = tg w satisfait à l'équation du 3o degré

Or on connaît a priori deux sont les inclinaisons des talus

des racines de cette équation, ce

p

= m p

n. La troisième s'obtiendra donc en divisant par m n le produit des racines

On a donc de la sorte une idée assez précise des lignes isostatiques de première espèce qui peuvent être en gros assimilées à l'ensemble des hyperboles tangentes en o à la droite OT et

ayant comme directions asymptotiques les deux parements. Ceux-ci correspondent à l'hyperbole particulière dont le centre serait au point o.

0

G

T

Fig. 2

Les courbes de seconde espèce, qui forment aussi une famille de courbes homothétiques, orthogonales aux premières, couperont donc le massif de part en part, et seront, bien entendu, normales aux deux parements ainsi qu'à la droite O T.

Quant aux lignes de glissement (celles correspondant aux cisaillements effectifs) elles affecteront l'allure représentée par la courbe pointillée G G, sur la figure ci-dessus. Les angles aigus

Le cas des murs strictement à l'abri des sous-pressions présente une particularité intéressante. Lorsque le réservoir est plein, les lignes isostatiques d'un même système sont les droites parallèles entre elles. Cherchons en effet sous quelles conditions cela peut avoir lieu. Il faut que & soit constant, ou, ce qui revient au même, que

Cela exige que l'on ait entre les coefficients la relation :

Or dans le cas considéré, on a sur le parement d'amont

ce qui a nécessairement établi entre les coefficients les relations

La valeur constante de 3, pour les lignes de première espèce, est d'ailleurs nécessairement l'angle i du parement d'aval, qui demeure une ligne isostatique de cette espèce. Le parement d'amont qui devient une ligne singulière, puisque toutes les compressions y deviennent égales, n'en fait plus partie. Les lignes de glissement deviennent aussi des droites.

M. Chigot a rencontré un autre cas où les lignes isostatiques sont constituées par des droites parallèles. C'est celui où l'on suppose m=1 En effet on a alors

n = 0

avec 2 K.

Mais ce n'est guère là qu'une curiosité, tandis que le cas pré

cédent a une portée pratique évidente.

Paris, le 5 mars 1917.

N° 15

NOTE SUR UN MUR DE SOUTÈNEMENT

ET UN PASSAGE INFÉRIEUR EN CIMENT ARMÉ

FONDÉS SUR REMBLAI, CONSTRUITS POUR RECTIFIER

LA ROUTE NATIONALE N° 11, D'ALGER A MOSTAGANEM,

A LA TRAVERSÉE DE L'OUED FERRAH PRÈS D'ALGER

Planche 1.

PAR M. RABY,

Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées.

OBJET DE LA NOTE

La rectification de la route nationale n° 11, d'Alger à Mostaganem, à la traversée de l'oued Ferrah, s'imposait afin de supprimer des courbes dangereuses et de réduire des déclivités atteignant jusqu'à 6, 5 %.

Elle devait se faire, suivant le tracé qui a été adopté définitivement, en construisant sur le ravin un viaduc de 16 mètres environ de hauteur.

L'installation dans le ravin même, immédiatement à l'amont de la route, d'une importante usine de chaux et ciments est venue modifier ce programme. La Société, propriétaire de cette usine, ayant eu à mettre en dépôt de grandes quantités de déblais, a été dûment autorisée à recouvrir l'oued Ferrah et à déposer des terres au-dessus de l'aqueduc en maçonnerie construit à cet effet.

Dans ces conditions la rectification de la route nationale ne nécessitait plus l'exécution d'un viaduc, mais comportait celle