que celle des bateaux suivants. L'onde de proue du second bateau entre alors dans la dépression de poupe du premier, la vitesse du contrecourant est réduite, d'où relèvement du bateau et diminution de la résistance due au tourbillonnement sur le fond.

Il y a au contraire augmentation de résistance pour les bateaux suivants, plus forte pour le 3o que pour le 2e et pour le 4o que pour le 3o. Quand le nombre des bateaux augmente encore, la résistance totale du convoi finit par être plus grande que la somme des résistances afférentes à chaque unité prise isolément.

La rencontre et le croisement des bateaux donnent lieu à des constatations intéressantes; en général, les bateliers sont portés à ralentir leur marche dès qu'ils s'aperçoivent à distance. Il semble que sur des canaux à trafic intense, un pareil ralentissement entraîne une sérieuse perte de temps et puisse être évité bien souvent. C'est l'opinion de Krey que s'appuie sur de nombreuses expériences faites au laboratoire technique de Berlin, il suppose d'ailleurs des canaux de forme convenable et un personnel expérimenté. L'auteur trouve excessif l'optimisme de Krey et considère le ralentissement comme prudent dès que la vitesse dépasse 5 kil. De même pour les passages dans les courbes et pour les dépassements, par exemple par un bateau à

moteur.

N° 11

BIBLIOGRAPHIE

J. G. COFFIN

Calcul vectoriel

avec applications aux mathématiques et à la physique (1).

Traduction et notation française

par A. VÉRONNET (2).

Compte rendu par M. G. MOURET,
Ingénieur en chef des Ponts et Chaussées.

Dans les sciences mécaniques et physiques, les quantités que l'on considère, déplacements, vitesses, accélérations, forces, potentiel, température, densité, induction, etc. dépendent de la position de points dans l'espace; d'autres, travail, flux, circulation, débit, etc., sont des intégrales de lignes, de surfaces ou de volumes, et se rattachent par là aux premières. L'étude générale de ces sortes de grandeurs constituerait à elle seule, une branche des plus importantes. de l'analyse mathématique, dans laquelle elle est en réalité confondueavec d'autres études, qui n'ont ni grande importance, ni grande utilité au point de vue de l'ingénieur et du physicien. Depuis quelques années cependant, l'analyse des grandeurs en question tend à se constituer en un corps de doctrine spécial, sous le nom d'analyse vectorielle, bien que les vecteurs ne forment que l'un des éléments de cette analyse, où l'on considère également des quantités numériques sans

(1) Joseph George COFFIN: Vector Analysis, an Introduction to vectormethods and theis various applications to Physics and mathematics. Secondeédition, New-York, John Villey and Sons, 1911.

(2) Paris, Gauthier-Villars, 1914. Prix: 7 francs 50.

sens ni direction. Ce qui a aidé à cette dissociation, ce n'est pas tant le besoin de fournir aux physiciens un outil approprié à leurs besoins, que la méthode nouvelle impliquée par le mot vectoriel, méthode qui a pris naissance elle-même dans les pures spéculations mathématiques -de Grassmann et d'Hamilton. De la sorte, il semble que l'analyse en question soit caractérisée par sa méthode et ses symboles spéciaux, plus que par son objet propre qui est l'étude des grandeurs physiques. Aussi l'intérêt se porte-t-il actuellement surtout sur la méthode ; il se concentre même sur le symbolisme quoiqu'il n'y ait là qu'un côté, et, à certains égards, un petit côté de la question.

La véritable utilité de l'analyse vectorielle est de débarrasser les sciences mécaniques et physiques de considérations d'ordre purement mathématiques associées trop intimement aux considérations physiques, de sorte qu'on n'y distingue plus bien ce qui est du domaine des sciences naturelles, et ce qui est du domaine purement mathématique. C'est aussi d'apporter une certaine simplification dans les sciences physiques, en évitant la répétition de théories qui, au fond, sont identiques, de théories qu'après avoir étudié par exemple dans les transformations de figures, on rencontre, toujours sous la même forme, dans la cinématique des corps déformables, puis dans l'élasticité, dans l'hydrodynamique, dans l'optique, l'électricité, etc. C'est de permettre d'avoir, par conséquent, une vue plus claire et plus distincte du phénomène naturel lui-même.

Quant à la méthode de l'analyse vectorielle, d'où celle-ci tire son nom, elle n'est pas nouvelle. C'est celle des anciens, systématisée; c'est un peu celle de Poncelet, c'est surtout celle de Poinsot. Lorsque d'analyse ordinaire s'attaque aux quantités dirigées, par exemple, elle des décompose en éléments de directions invariables suivant une méthode qu'on attribue à Descartes, de manière à ramener le calcul de ces quantités à celui des quantités purement numériques. Elle cherche -aussi à éviter le plus possible les représentations concrètes; les traités de mécanique ou de géométrie conçus à ce point de vue, et ce sont actuellement les ouvrages classiques, ne contiennent pas de figures. Tout autre est l'esprit de l'analyse vectorielle; loin d'éliminer le caractère concret des quantités considérées, elle le conserve, au moins en ce qui a trait à l'espace; elle raisonne, non sur des éléments fictifs des grandeurs considérées, mais sur les grandeurs elles-mêmes.

Onadit que le calcul vectoriel ne consiste qu'à indiquer par une seule Jettre une expression complexe; on pourrait dire aussi que le système <ordinaire consiste à indiquer un tout par une expression complexe. En réalité l'analyse vectorielle, dans son véritable esprit, tend à diminuer la part du symbolisme pour y substituer la clarté géométrique. Elle apporte, d'ailleurs, la simplicité en diminuant le nombre des sym

boles; pour exprimer, par exemple, les équations du mouvement des fluides parfaits, elle n'exige qu'une équation unique composée de trois termes, alors que les formules des analystes se composent de trois équations, de quinze termes et d'autant de signes.

Ce qu'on pourrait reprocher à l'analyse vectorielle, dans son état actuel, c'est de ne pas posséder l'uniformité de méthode de l'analyse ordinaire, dont la mécanique analytique de Lagrange est un type classique; à ce point de vue elle perd, dans les travaux de recherches, certains avantages, mais elle reprend la supériorité quand il s'agit, les résultats obtenus, d'exposer ces résultats sous une forme simple, comme d'éclairer la suite des raisonnements. Son importance est donc très grande au point de vue didactique: elle est, au premier chef, une méthode d'enseignement; donc elle est celle qui convient à l'ingénieur, et d'une manière générale, au praticien désireux d'apprendre rapidement et aussi de voir clair devant lui avec le minimum d'effort. C'est pourquoi nous avons jugé utile de publier dans ce recueil, un compte rendu du plus récent des ouvrages consacrés à l'analyse vectorielle.

Il faut bien reconnaître que, malgré ses avantages, cette analyse n'est pas entrée dans l'usage courant. Les ouvrages classiques sur la mécanique et la physique consacrent bien un chapitre du début à l'exposé très sommaire de quelques définitions et de quelques théorèmes sur les fonctions vectorielles, mais dans la suite de ces ouvrages il n'en est plus guère question, et le système cartésien règne sans partage.

Il est sans doute difficile de revenir sur des habitudes de calcul acquises de longue date, cependant l'esprit de tradition n'explique pas ce retard dans la diffusion ou l'utilisation d'une méthode qui présente tant d'avantages. Il semble que ce qui a surtout compromis son succès, c'est d'une part les complications dont elle a été entourée à l'origine et la manière dont elle a été présentée, très nuageuse et métaphysique par Grassmann, très abstraite par Hamilton.

C'est, d'autre part, l'abus d'un symbolisme nouveau, et nullement indispensable, chaque auteur, en outre, adoptant un symbolisme qui lui est propre.

En réalité, l'analyse vectorielle peut être exposée et employée sans symbole véritablement nouveau; ce n'est pas qu'elle ne comporte des combinaisons, telles que les produits scalaires et les produits vectoriels qui n'ont pas d'analogue dans le calcul des quantités numériques, mais le plus souvent, le cours du raisonnement fait connaître la nature des produits considérés, et une notation spéciale, même simple, est généralement sans utilité. Quant aux coefficients différentiels des quantités dans l'espace, le gradient, la divergence, le curl, la notation,

si elle est analogue à celles de Leibnitz et de Lagrange, est si simple qu'elle ne peut devenir la source d'aucun embarras.

L'ouvrage de Coffin sur l'analyse vectorielle, qui date de 1909 et qui a eu une seconde édition en 1911, est certainement, à titre d'ouvrage élémentaire, de nature à faciliter l'étude de la nouvelle analyse et à en faire pressentir toute l'utilité dans les domaines de la géométrie, de la mécanique, et de l'électricité. C'est à J. Willard Gibbs que l'on doit peut-être le meilleur exposé de la nouvelle méthode (1), exposé développé plus tard par M. E. B. Wilson (2). M. Coffin s'est surtout inspiré de ce dernier ouvrage sans toutefois, et avec raison, traiter la question trop abstraite des « dyads » qui le termine.

Grâce au traducteur, M. Véronnet, qui a substitué aux notations de Gibbs, une notation plus simple, empruntée à Massau, l'œuvre américaine a gagné en clarté dans le texte français.

Pour introduire les notions spéciales à l'analyse vectorielle, l'auteur use d'un artifice. Au lieu de les définir directement, il les tire de l'analyse ordinaire, en donnant aux symboles d'opération de cette analyse la valeur d'une quantité vectorielle. Par exemple pour définir le gradient, au lieu de le présenter comme le coefficient d'accroissement d'une fonction numérique, V, il écrit:

DV étant considéré comme le produit de l'opérateur D par la fonction V.

Si F est un vecteur, en considérant successivement les produits scalaires et vectoriels du vecteur fantôme D par le vecteur F, on obtient de la même manière les expressions de la divergence et du curl. Il est clair, par cette méthode, que l'étudiant déjà au courant des éléments de l'analyse ordinaire n'a pas de saut à faire pour s'introduire dans un nouveau domaine, mais la véritable origine et le véritable caractère des notions ainsi présentées sont masqués.

(1) J. Willard Gibbs : Elements of Vector Analysis, 1881-1884 (Collected Papers).

(2) Edwin Bidwell Wilson: Vector Analysis, à Text Book for the Use of Students of Mathematics and Physics, founded on the Lectures of J. Villard Gibbs, Professor of the Mathematical Physics in Yale University. NewHaven, U. S. A. 1893. La lecture de cet ouvrage est à recommander.

(3) x, y, z, représentent les directions des axes; on adopte plus généralement les lettres i, j, k, employées d'ailleurs dans le texte américain.