On ne peut évidemment y prétendre dans le cas d'un arc quelconque dont les éléments, susceptibles seulement d'une définition graphique, doivent être mesurés sur le dessin et l'on conçoit combien dans ce cas peut être pénible et décevante la poursuite de la solution.

Or le type d'arc à sections quelconques est constant en pratique; il y a lieu d'ailleurs de conserver toute latitude à cet égard soit pour satisfaire à l'aspect, soit pour suivre une forme imposée, soit pour satisfaire en toute liberté aux conditions techniques du problème.

Il y a donc un grand intérêt à rechercher une méthode sûre permettant de résoudre le cas le plus général, et, à cet effet, à rechercher d'une part les causes de l'indétermination signalée puis les conditions de stabilité des formules, et d'autre part les procédés de calcul à base exacte donnant la précision exigée par le peu de tolérance du résultat.

Cette recherche est donnée ci-après. Elle aboutit à une méthode précise de résolution qui conserve les bases de la méthode donnée par M. l'Inspecteur général Pigeaud dans son cours de Résistance des matériaux (1) en partant des formules de Bresse. La comparaison qui est faite ensuite de ces méthodes avec la méthode de Ritter montre que les formules de Bresse conduisent à des résultats plus complets et plus simples; elles permettent d'ailleurs d'exprimer la solution de Ritter qui ne donne que les lignes d'influence des réactions.

La même recherche est reprise pour les arcs continus. Après avoir signalé que la stabilité des formules, qui tient aux mêmes causes, peut être également obtenue par réduction des termes des équations générales, on indique les méthodes à base stable permettant cette résolution et notamment la méthode fournissant la solution pratique du problème. Cette méthode est basée sur le procédé général de calcul des systèmes continus consistant à déterminer la pièce simple équivalente à une partie quel

(1) Cours de résistance des matériaux, professé à l'École des Ponts et Chaussées, Paris, 1920, Gauthier-Villars, édit.

conque du système continu; le problème se trouve ainsi ramené à des calculs faciles de pièces simples. Cette méthode qui utilise les formules de Bresse est, sous une forme plus générale et plus complète, la solution donnée par Ritter pour le même problème.

RECHERCHE DES FORMULES STABLES

Causes d'instabilité des formes générales. La résolution des trois équations générales connues, exprimant les conditions d'équilibre de l'arc encastré rapporté à des axes quelconques, conduit aux expressions suivantes des réactions (En réservant l'effet de l'effort tranchant et avec les notations de l'ouvrage de M. Pigeaud; les indices des intégrales définies ne seront do pas indiquées pour simplifier, et l'on posera ds

Moment en un point quelconque de l'arc

M+A+BX — Y

Réactions dirigées suivant les axes

=

Afds=QƒXds—B ƒYds — fμds

m =

dsds

p.ds

b' = fer as fa s — f = d s fr, ds

= fužas fās — fμds feds m'=furdsfds-fuds fnds

L'étude des facteurs b m.... donne la cause de l'indétermina'tion des formules.

On peut écrire ces facteurs sous la forme suivante en tenant compte de la signification des intégrales par rapport aux éléments de s (résultante, moments statiques, moments et produits d'inertie) (fig. 1):

Ann, des P. et Ch., MÉMOIRES, 1925-VI.

18

g centre de gravité des éléments d s placés sur l'arc

g' centre de gravité des éléments ds placés sur la courbe

Sous cette forme on remarque que q' par exemple est égal à I, moment d'inertie des éléments d s par rapport à gx, c'est-àdire qu'il est égal à 2 (r rayon de gyration). Le rapport

de ce résultat aux termes dont il est la différence est dans

certains cas courants de l'ordre de 1, 2, 3° %... c'est-à-dire de l'ordre de grandeur des erreurs possibles. C'est le caractère

d'indétermination signalé au début. Comme tous les facteurs entrant dans les formules présentent ce caractère, on conçoit de quel degré d'incertitude est frappé le résultat final.

Formules stables. Il résulte de ce qui précède que pour obtenir des facteurs déterminés et un résultat stable il suffit d'utiliser les axes statiques gx, gy, g'x, pour le calcul de ces facteurs, c'està-dire pour Q par exemple de calculer la formule

M

Elle ne comporte plus de facteurs indéterminés, le dénominateur est constant quels que soient les axes et égal à Im Im, produit des moments d'inertie principaux, dont la valeur est de l'ordre de grandeur de I, I,.

En rapportant l'arc et les réactions non plus à des axes quelconques, mais effectivement aux axes statiques gx, gy l'expression de A se simplifie et l'on obtient les trois formules stables suivantes pour les réactions

Si l'on dirige en outre ces axes suivant les axes principaux d'inertie des éléments ds, frds devient nul, et l'on obtient les formules simplifiées connues, données par M. Pigeaud dans son ouvrage :

On voit donc qu'à leur remarquable qualité de simplicité ces formules ajoutent celle, plus précieuse, d'être (avec les formules I) les seules formules stables, leur emploi n'est donc pas seulement avantageux, il est indispensable si l'on veut aboutir; il faut donc se garder, pour éviter la recherche d'axes spéciaux, de revenir aux équations générales et d'en effectuer la résolution directe. Si certains cas particuliers obligent à reprendre la mise en équations (appuis spéciaux, arcs à liaisons...) il est nécessaire d'opérer la réduction des facteurs de la façon indiquée ci-dessus, à moins de ramener le problème à une résolution d'arcs simples suivant la méthode employée plus loin pour le cas des arcs continus.

Remarques. 1o) La détermination des facteurs constants de

l'arc, entrant dans les formules ci-dessus, est précise même si celle du centre de gravité ne l'est pas absolument, leur valeur passe en effet par un minimum pour la position des axes déterminée par ce point.

Pour obtenir le même caractère pour les facteurs variables, contenant p., il faut de la même façon rapporter cette quantité à l'axe g'x. Une mauvaise position de g entraînant pour une erreur donnera en effet pour furds une erreur e Suds, importante en prenant l'axe o'x', nulle (ou minimum) en pre

nant l'axe g'x qui donne Sμds s = o. On obtient alors les for

mules offrant le maximum de stabilité.

2o) Les formules I comportent plus de calculs arithmétiques que les formules II, par contre elles évitent la détermination des axes principaux d'inertie (qui exige le calcul de tous les facteurs constants figurant dans les formules 1) et une seconde détermination de fds, fds (par rapport à ces axes). Comme ces deux déterminations ne sont à faire qu'une seule fois, les formules II sont avantageuses si l'on doit envisager plusieurs cas de charges, les calculs ultérieurs se trouvant simplifiés; dans le cas contraire il est indiqué d'employer les formules I.

3o) L'effet de l'effort normal a été réservé, on peut en tenir compte directement sans rien changer à l'exposé ci-dessus en usant des deux courbes parallèles à l'arc à distance r (rayon de gyration) envisagées par M. Pigeaud (en plaçant les éléments

do

sur des obliques à angles constant on tiendrait compte en 4I même temps de l'effort tranchant), mais il est plus pratique de l'évaluer à part comme terme correctif, de la même façon que pour l'action de la température.

CALCUL GRAPHIQUE PRÉCIS DES ÉLÉMENTS DES FORMULES

Erreurs systématiques des procédés courants. Les formules ci-dessus comportent le calcul des intégrales suivantes :

1o) s, indépendante des axes.