Si donc, on considère les forces extérieures (charges et réaction de l'appui A) qui agissent sur la poutre, depuis cet appui jusqu'à la section m n, il suffit, pour déterminer les forces intérieures, c'est-à-dire les efforts que supportent les pièces coupées par cette section m n, d'exprimer la relation qui existe entre ces forces et les forces extérieures.

On est ainsi conduit à égaler, par rapport à un point quelconque, les moments des forces extérieures à ceux des forces intérieures.

On obtient immédiatement l'effort dans la pièce considérée, en prenant les moments ci-dessus par rapport au point d'intersection des deux autres barres rencontrées par la section m n.

L'effort S dans la membrure inférieure b c, par exemple, s'obtient en égalant, par rapport au nœud opposé C', les moments des forces extérieures Q, P, et P, et celui de S; cet effort S est donc donné par l'expression :

L'effort T dans la membrure supérieure b'c' s'obtient en prenant les moments des forces extérieures et des forces intérieures par rapport au nœud opposé b, intersection des barres b c'et bc, coupées par la section m n; cet effort T a pour expression :

L'effort U dans le montant cc' s'obtient en prenant les moments des forces par rapport au point d'intersection O des membrures supérieure et inférieure ; cet effort U a pour expression :

Enfin, l'effort V, dans la diagonale b c', s'obtient en prenant également les moments des forces par rapport au point d'intersection O des membrures; cet effort a pour expression :

Division des calculs. - On a déterminé successivement les efforts dus à la charge permanente seule, dans le cas du pont ouvert et dans celui du pont fermé, puis les efforts dus à la surcharge seule.

EFFORTS DANS LES POUTRES

DUS A LA CHARGE PERMANENTE SEULE

Les deux volées sont en porte-à-faux par rapport au point B.

Charges. Les efforts engendrés par la charge permanente ont été déterminés en appliquant à chacun des nœuds inférieurs, les poids du tablier et du mécanisme correspondant à la demilargeur du pont et intéressant en longueur, les deux demi-panneaux voisins du montant considéré. Ces charges sont indiquées sur le croquis précédent.

Signes des moments. — Dans tous les calculs qui suivent, on a donné aux moments fléchissants le signe + lorsque les forces

(1). Sens des efforts dans les barres. Le sens de la force intérieure calculée S T U ou V, résulte de l'équation même. Dans le cas où la force est dirigée vers la section m n, il y a compression dans la pièce; dans le cas de la fig. (page 86) la force V comprime la diagonale b c'.

Si, au contraire, la force tend à s'éloigner de la section m n, il y a tension dans la pièce; tel est le cas de la membrure inférieure b c sous l'action de la force S.

qui les engendrent tendent à entraîner leurs bras de leviers dans le sens des aiguilles d'une montre, et le signe lorsque ce déplacement a lieu en sens contraire.

Signes des efforts. -Les efforts de compression dans les barres ont été affectés du signe et les efforts de tension, du signe Le tableau récapitulatif ci-dessous indique seulement la valeur de ces efforts.

les efforts développés dans les différents éléments d'une poutre, il suffit de connaître les réactions des appuis. Pour cela, on a appliqué la méthode de M. Bertrand de FONTVIOLANT (1) qui permet de déterminer ces réactions en tenant compte des sections variables de la poutre :

(1). Voir Applications de la statique graphique, par Maurice KOECHLIN, p. 338. Baudry et Cie, éditeurs, 1889.

a. — A cet effet, on a supposé d'abord que l'appui B n'existe pas et que la poutre repose seulement sur ses appuis extrêmes A et C; puis, on a déterminé la flèche que prendrait la poutre

dans ces conditions, au droit du point B, sous l'influence de la charge permanente concentrée aux nœuds inférieurs.

b. La réaction inconnue de l'appui B a été obtenue pour chacune des forces ci-dessus, en calculant la force de sens contraire qu'il faudrait appliquer en ce point, pour ramener la poutre dans la position qu'elle occupe lorsqu'elle repose effectivement sur les trois appuis A B C.

Pour simplifier le travail, on a d'abord déterminé les réactions de l'appui B dans l'hypothèse d'une charge unitaire de 10 000 kilos successivement appliquée à chacun des nœuds inférieurs de la poutre.

On a ainsi obtenu pour les différentes réactions de l'appui B correspondant aux différentes positions de cette charge, autant de constantes qui, multipliées par le rapport de la charge réelle à la charge fictive de 10 000 kilos, donnent la réaction vraie de l'appui B dans chaque cas particulier.

Les réactions des appuis extrêmes A et C s'obtiennent comme cela est indiqué page 92.

Enfin, les réactions totales des appuis sont respectivement égales aux sommes des réactions partielles calculées comme il est dit ci-dessus.

a. - Détermination des flèches que prend la poutre au droit de l'appui intermédiaire B supposé enlevé, sous l'influence d'une charge de 10 000 kilos successivement appliquée à chacun des nœuds inférieurs a b c... ij... q r (p. 88).

On a appliqué à cette recherche, les procédés de la statique graphique.

Le problème consiste à construire la ligne élastique ou fibre moyenne de la poutre déformée.

Neuf épures ont donné les flèches produites en B par la charge de 10 000 kilos successivement appliquée à chacun des nœuds a b... h i de la première travée.

Par raison de symétrie, on obtiendrait des résultats identiques en plaçant successivement la charge de 10 000 kilos aux nœuds correspondants de la seconde travée.

Dans chaque cas, la ligne élastique a été obtenue en divisant la surface des moments fléchissants en éléments, en concentrant les surfaces de ces éléments, considérés comme des forces, en leurs centres de gravité, et en traçant le polygone funiculaire correspondant à ces forces.

Dans ce polygone, les distances polaires sont respectivement égales aux valeurs successives de E I, produit du moment d'inertie de la section de la poutre au point considéré, par le coefficient d'élasticité. Le polygone funiculaire ainsi obtenu enveloppe la ligne élastique, et les points de tangence du polygone à la ligne élastique correspondent aux points de division

des éléments.

La poutre a été divisée en 19 intervalles correspondant aux montants.

La charge de 10 000 kilos étant appliquée en a, par exemple (p. 88), on en a déduit les moments fléchissants aux points de division a, b... r de la poutre; sur les verticales correspondantes on a porté les valeurs des moments fléchissants ainsi calculés; la ligne polygonale qui joint les extrémités des ordonnées, limite la surface des moments fléchissants.

Les moments d'inertie I qui figurent dans les distances polaires EI, ont été calculés au milieu de chacune des divisions de la poutre. Ces moments d'inertie ont été supposés constants sur toute la longueur de l'élément considéré.

b. - Calcul des réactions de l'appui intermédiaire B. — Les valeurs de ces réactions sont égales aux forces qu'il faudrait appliquer au point B de la poutre, dans chaque cas particulier, pour la ramener suivant l'horizontale.

On a d'abord déterminé la flèche que prendrait la poutre en B,