appliquées au même point, et qui sont produites par les poids P, P', P" de la voûte, du tympan et de la surcharge.

Il faut donc obtenir les valeurs de ces trois poussées partielles, que nous désignerons par Q1, Q2, Q3; et en les sommant nous aurons la poussée totale Q = Q1 + Q2 + Q3•

Enfin en divisant par e, on aura la pression moyenne à la clef :

Les recherches du chapitre précédent nous ont déjà donné la formule générale (4) qui est l'expression exacte de la poussée due à la voûte seule; nous n'avons pas à y revenir. On affectera seulement, par la suite, de l'indice 1 les termes Q, y, et K, relatifs à la voûte seule, dont le susdit chapitre donne les formules: On aura ainsi Q, = Пe R× K1 et y1 =ПI R× K1. RK,

2. Poussée produite par les tympans : Q2.

D'après les notations adoptées plus haut, les tympans formant le remplissage des reins, sont par définition censés limités à l'horizontale passant par le sommet de la clef. S'ils sont maçonnés leur poids spécifique est celui II de la maçonnerie; si le remplissage des reins est fait en remblai ce poids spécifique sera П" comme pour la surcharge; mais nous le désignerons d'une manière générale par II'.

Cela posé, la poussée partielle Q2 du tympan partant du point H de la clef, fait équilibre au poids P'; et la résultante de ces deux forces va passer par le point I; leurs moments par rapport à ce point I doivent donc être égaux et de sens contraire, ce qui donne l'équation :

Q2 XII = P' × g' l

mais Il-b' et g'l-Lg'-IJ; et comme I J=(A D-AI) sin x soit I J = t11) sin a, l'égalité précédente devient :

Q2 b' = P' [Lg' (e, - t, e,) sin x]

Ann. des P. et Ch. MÉMOIRES, 1915-I.

12

La valeur de Lg' pour un angle quelconque a ne dépend que du tracé de l'extrados. Assez généralement, quand on s'est donné e et e1, on le trace par un arc de cercle ayant son centre sur la verticale de la clef et passant par les points E et D de l'extrados dont la position est fixée par e et e,. L'expression analytique de Lg', qui peut s'en déduire, est assez complexe. Mais si l'on suppose que l'arc de cercle est remplacé par un arc de parabole à axe vertical ayant son sommet en E, on trouve très simplement l'expression de S' et de L g'. On sait en effet que, pour la parabole, la surface D E F est égale au tiers du rectangle circonscrit E F D C", et la distance du centre de gravité G' à la droite D F est égale au quart de E F ou de C" D. Dans cette hypoa" b" et Lg′ =—-a", et la relation ci-dessus

thèse S'

1

a'

1 a" b"

1

(—-—a" — (1 — t,) e, sin a

D'autre part en se reportant à la figure 5 on voit sans peine

Elle est proportionnelle au quarré de a, et inversement proportionnelle à l'épaisseur de la clef e.

Pour l'application des formules de Q. et de y1⁄2 on devra tenir compte des remarques faites à la section II du chapitre III, sur la valeur que prend la demi-corde a suivant les diverses formes d'intrados.

3.- Poussée Q, produite par la surcharge au-dessus de la clef.

Comme pour Q2, la valeur de Q, sera obtenue en posant l'égalité des moments des forces Q, et P" par rapport au point I, où doit passer leur résultante. On a donc

Q3 × Il = P" (Lg" — Ll)

Nous avons admis que la surchage est limitée par l'horizontale ST, située à une hauteur h au-dessus de la clef. Elle est généralement formée de remblais d'un poids spécifique II". Mais quoi qu'il en soit, si elle est uniforme, comme elle doit l'être puisque nous ne considérons que les voûtes symétriques, on peut toujours la représenter par une hauteur de remblais de poids II" et d'une hauteur déterminée h.

Cela étant, le centre de gravité G" du poids P" de cette surcharge se trouve au centre du rectangle ESTF; par suite Lg"

1

2

=

a", et comme Il = b' et Ll — e, (1 — t1) sin «, la relation précédente donne:

"ח

II′′ × S′′ = II" a" h, substituantiles valeurs

a

trouvées plus haut pour a", b', e, sin a, et remarquant que

a2

a"

= R sin2 a on obtient, toutes réductions faites:

R

expression analogue à celle de Q1, mais dans laquelle, abstraction faite des coefficients K, et K,, la surcharge h prend la place de e.

Récapitulation. Nous avons ainsi les trois fractions de la poussée. En les totalisant on obtiendra la poussée totale Q. Expression de la poussée totale Q = Q1 + Q2 + Q3

La pression totale se compose de deux parties dont l'une est simplement proportionnelle à R, et indépendante de l'épaisseur e à la clef; l'autre est, au contraire, inversement proportionnelle à cette épaisseur. Cette dernière est la seule dont on puisse abaisser le taux par une augmentation de l'épaisseur à la clef. Elle se divise elle-même en deux parties, dont la première n'est

fonction que du carré de l'ouverture et nullement du surbaissement, tandis que l'autre est proportionnelle à la fois au rayon d'intrados et à la hauteur de la surcharge.

D'autre part, les valeurs ci-dessus de K, et de K, sont rigoureuses; mais celle de K2 doit être affectée d'un coefficient de réduction, parce que l'on a majoré la surface du tympan en la calculant comme si l'extrados était un arc de parabole. Nous verrons bientôt à la section II, quelle valeur il faut attribuer dans la pratique à ce coefficient de réduction.

Sous cette seule réserve, les formules ci-dessus sont exactes et générales. Elles donnent les valeurs des trois parties de la poussée et de la pression moyenne à la clef, quelles que soient les données du problème, en suivant les indications déjà précisées au chapitre III sur la valeur qu'il faut attribuer au terme a.

Mais nous avons aussi montré dans ce même chapitre, que le facteur K1, dans la généralité des cas de la pratique, s'écarte très peu de sa valeur moyenne, laquelle peut, sans erreur sensible, être prise égale à l'unité.

Il est intéressant de se rendre compte si pareillement les variations de K, et de K, oscillent peu autour d'une moyenne à déterminer, car cela pourrait faciliter grandement l'application des formules, en adoptant pour les trois facteurs K des cofficients numériques convenables. C'est ce qui fera l'objet de la section II ci-dessous.

SECTION II. Formules pratiques de la poussée

à coefficients numériques.

Nous n'avons pas à revenir sur ce qui a été déjà établi au chapitre III, à l'égard de la valeur moyenne que prend K,, suivant la forme de l'intrados et la courbe des pressions choisie. Nous avons seulement à faire une recherche semblable pour K2 et Ks.

Cette recherche est assez facile puisque u et u, ont des valeurs qui se maintiennent dans des limites assez resserrées, et qu'il