formules sont assez exactes pour qu'elles puissent dispenser de l'exécution des épures, du moins en vue des calculs de la poussée et de la pression moyenne à la clef.

Mais nous pouvons apporter encore une plus ample vérification, tirée des trois séries d'épures dont nous avons parlé à la section précédente, et qui viennent de nous servir pour l'étude des variations du triple facteur. K de II e R. De ces mêmes épures nous avons aussi déduit pour la voûte seule, sans surcharges, les valeurs de Q et de y résultant de la courbe des tiers. Elles sont inscrites dans le tableau suivant qui permet leur comparaison avec les résultats des formules numériques qui précèdent.

Pour rendre plus facile l'application de ces formules aux arcs surbaissés, désignons par m le rapport du rayon R d'un arc à son ouverture D, de sorte que R = m D. En appelant toujours a la demi-corde, et b la flèche, et si en outre on désigne le sur1 2 a b

baissement par on a D 2 a et n =

" n

en sorte que la relation rappelée au début du présent chapitre III, à savoir

On déduit de cette formule que pour le plein-cintre, où n =

1

5

2,

m est égal à ce qui doit être; et que pour les arcs au et au

1
2'

104

80

1,30, de sorte que les formules (9), avec le poids spéci

fique de 2.400, se réduisent aux expressions que voici, d'une extrême simplicité :

Rien de plus aisé dès lors, que de dresser le tableau suivant, qui permet la comparaison des résultats obtenus, d'une part au moyen de la méthode de MÉRY, et d'autre part avec les simples formules (9).

Ce tableau ne laisse pas d'être instructif. Tout d'abord, il y a lieu d'observer que les légers écarts, mis en relief par la dernière colonne, entre les poussées et les pressions à la clef déduites soit des épures, soit des formules (9), ont une allure irrégulière, qui ne peut s'expliquer que par les imperfections inséparables des tracés géométriques. Les petites anomalies qu'on y relève tendent même à faire admettre que les formules (9), surtout

l'on y apporte les légères corrections indiquées à la fin de la Section II pour les adapter à la courbe des tiers, donnent des résultats tout aussi exacts que ceux qui résultent du tracé toujours un peu imparfait d'une épure.

Si d'autre part on se reporte au tableau I, on est frappé de ce fait que les pressions moyennes obtenues par M. CROIZETTE-DESNOYERS pour les trois ouvertures en plein cintre de 20, 60 et 100 mètres sont, à peu de chose près, identiques à celles du tableau. II, bien que les poussées soient fort dissemblables à cause même de la grande dissemblance des épaisseurs à la clef adoptées, les poussées croissant proportionnellement à ces épaisseurs.

Mais ce que le lecteur trouvera sans doute tout à fait concluant, c'est la série des chiffres de la colonne 6, qui est le résultat de nos seize épures. Elle atteste, du haut en bas, la proportionnalité de la pression moyenne à la grandeur absolue du rayon de courbure: c'est la preuve manifeste que l'épaisseur de la clef reste sans influence sur la pression, tant que la voûte n'est soumise qu'à son propre poids.

On voit, en effet, que cette proportionnalité se maintient quoique les épaisseurs à la clef varient de 0m 70 à 2 m 40, et malgré les variations encore plus fortes des rayons d'intrados, qui partent de 5 mètres pour s'élever jusqu'à 130 mètres. Enfin, une dernière remarque qui saute aux yeux, c'est que pour chacune des trois formes d'intrados étudiées, la pression obtenue pour l'arche de 100 mètres est presque exactement le décuple de celle de 10 mètres. Ce fut là, du reste, le trait de lumière qui nous incita à rechercher la preuve analytique de la relation Y = ПR.

Il est donc établi que si la pression moyenne à la clef d'une voûte symétrique, au moment du décintrement avant l'apport de ses charges, est rigoureusement donnée par l'expression y= IIp, dans laquelle est le rayon de courbure à la clef de la courbe des pressions choisie pour faire le calcul; il n'en est pas moins vrai que, pratiquement, on peut remplacer ce rayon, qui est du reste arbitraire comme l'est elle-même la courbe des pressions choisie, tout simplement par le rayon de l'intrados.

C'est là une propriété aussi remarquable que précieuse des constructions en forme de voûte, qui se résume par la formule d'une surprenante simplicité : y = ПIR.

Nous ne pouvions mettre trop de soin à l'établir à cause des nombreuses conséquences qu'elle entraîne à sa suite et de la lumière qu'elle apporte dans le calcul, et même dans la construction des grandes voûtes.

1. Et tout d'abord elle confirme pleinement l'intuition géniale qu'en avait eu PERRONET. On lit en effet dans la seconde édition de ses œuvres (Didot, 1788), p. 334 : « C'est de la longueur des rayons encore plus que de l'ouverture des arches que dépend le plus ou moins de difficulté de ces sortes de constructions.» Puis, p. 616, à propos du Pont de Neuilly, ayant constaté qu'après décintrement l'arc supérieur des arches, compris entre les deux pointes, de chaque côté des cornes de vache, s'était tendu au point de n'avoir plus que 6 pouces 9 lignes de flèche (0m 182) pour une corde de 33 pieds (10 m 72), ce qui correspond à un rayon de 244 pieds, il concluait ainsi : « D'où l'on peut voir la possibilité, que l'on ne connaissait pas avant la construction du Pont de Neuilly, de faire avec de la pierre assez dure, et dans un lieu convenable des arches en plein cintre du double de ce rayon, ou, vu le peu de différence, de 500 pieds d'ouverture. » Et de fait, il ne craignait pas de présenter en 1793 (1), un mémoire où il projetait, dans tous ses détails essentiels, la construction d'une telle arche de 162 mètres de portée.

La formule du plein cintre appliquée ci-dessus y=0k12 D montre que la pression moyenne à la clef y serait de 0*12162 19k4 par centimètre quarré. C'est la pression atteinte dans une arche de 62 m 50 seulement d'ouverture, surbaissé au 10°; un peu moins que celle que dût supporter l'arche d'essai de Souppes (2),

=

(1). Quoique alors âgé de 85 ans, PERRONET avait conservé toutes ses facultés. Voir l'étude consacrée à cet homme de génie dans les Annales des Ponts et Chaussées de 1906 4e trimestre par l'Inspecteur général de Dartein.

(2). Voir les Annales des Ponts et Chaussées de 1866 et 1868.

dont le rayon était de 85 m 50, supérieur à celui de 81 mètres du projet de PERRONET. Ce fameux projet, que des ingénieurs de haute valeur ont pu trouver bien audacieux, n'apparaît donc plus comme étant entaché d'une hardiesse excessive.

Il est vrai toutefois que la formule y = IIR ne s'applique qu'à la voûte seule, avant toute charge, telle qu'elle est au moment du décintrement. Mais qui ne sait que c'est le moment critique de la construction, surtout pour les grandes portées ! L'apport de la superstructure viendra bien, ainsi qu'on le verra plus loin, doubler d'ordinaire la pression; mais cette perspective ne donne pas d'appréhension bien sérieuse au constructeur qui a franchi le cap périlleux du décintrement: moment critique, en effet, qui domine tout et qui devait être la grande préoccupation des ingénieurs au temps de PERRONET, alors que les mortiers hydrauliques étant inconnus, l'emploi de la chaux grasse, même avec des douelles en pierre de taille, donnait lieu à des tassements qui nous paraissent aujourd'hui formidables (1).

=

2. La relation y II R apporte aussi la justification d'une pratique qui s'est propagée de plus en plus : c'est celle de construire les voûtes par rouleaux successifs, bâtis et clavés l'un après l'autre mais en liaison entre eux. Puisque la pression superficielle ne dépend que du rayon, quelle que soit l'épaisseur de la voûte, chaque rouleau une fois clavé se comportera à cet égard comme la voûte entière; il ne travaillera ni plus ni moins qu'après les clavages successifs des autres rouleaux.

Mais le cintre sera ainsi considérablement allégé, car il sera libéré de sa charge par le fait seul du clavage d'un premier rouleau; ce qui montre en outre qu'il sera suffisant de donner au cintre la force nécessaire pour porter ce premier rouleau. La

(1). Au pont de Neuilly, dont le cintre s'était déjà abaissé de 0m 51 (dont 0m 16 après le clavage de la voûte), le tassement à la clef pendant le décintrement fut de 20 centimètres, et il s'accrut encore de 5 centimètres après quelque temps. Avec du mortier de ciment Portland, il atteindrait de nos jours tout au plus quelques millimètres. Au vrai, comme l'a dit PERRONET, la difficulté d'exécuter de très grandes arches réside dans le «< cintrement et le décintrement », plutôt que dans le travail exigé des matériaux.