Ainsi que la remarque en a été faite à la section I du chapitre II, lorsque l'intrados est un arc de cercle dont la flèche est plus petite que la moitié du rayon, l'angle a, qui est alors moindre de 60°, est celui même de la retombée de l'arc, et a est la demi-ouverture. Mais quand l'arc d'intrados a un plus grand développement et en particulier dans le cas du plein cintre. Il faut prendre a = 60°, On obtient ainsi pour le plein-cintre les formules suivantes : Ces diverses formules (5) à (8), donnent l'expression exacte de la poussée. Elles permettent donc d'obtenir, dans chaque cas particulier, la valeur que prend le triple facteur K. Or on remarquera que pour un surbaissement donné qui fournit aussitôt la valeur de Cos a, l'expression de K ne contient plus que deux X inconnues (1 + σ) et, dès l'instant qu'on a fait choix de la o) a R courbe des pressions ce qui donne t et t1, le rapport u = étant censé d'ailleurs une donnée de la question. Il est évident d'autre part que si le surbaissement ne varie pas, X les (deux termes (1 + ∞) et \ a ne dépendent que de la valeur donnée à u. Mais ce rapport u ne varie en réalité que dans d'étroites limites. On peut en effet s'assurer, en partant des formules pratiques en usage pour fixer la valeur de e, qu'entre les ouvertures de 20 et de 100 mètres, ce rapport reste compris entre les valeurs extrêmes de 0,09 et de 0,02, quel que soit le surbaissement depuis le plein cintre jusqu'à l'arc au 10o. Il en résulte que pour un surbaissement donné, il suffira d'un petit nombre d'épures pour être fixé sur les variations des deux termes en question et par suite du facteur K lui-même. C'est ce que nous ont rendu possible les trois séries d'épures dont nous allons parler. Voulant me rendre compte des variations qu'éprouvent dans la pratique la poussée et le travail des matériaux suivant la forme et la grandeur des voûtes, je fis dresser, il y a bon nombre d'années, trois séries d'épures à l'échelle du centième, pour des intrados en plein cintre et des arcs surbaissés au 5o et au 10o, offrant des ouvertures progressivement croissantes depuis 10 jusqu'à 100 mètres. Les épaisseurs qu'on donna à la clef étaient un peu fortes et ont dû par suite exagérer plutôt qu'atténuer les X écarts de (1 + 6) et de Voici cependant les résultats obtenus a à ne prendre, bien entendu, que la voûte seule sans ses charges. 1° Plein cintre. Quand u varie de 0,09 à 0,04, les ouvertures croissant en même temps de 20 à 100 m, le terme (1+0) passe de 1,77 à 1,73, et X a de 0,660 à 0,642. Sur leurs valeurs moyennes de 1,75 et de 0,651, ces termes ne subissent donc pas, dans ces limites, des écarts de plus de 1 1/2 pour cent. Avec ces valeurs moyennes et pour u = 0,06, les formules (7) et (8) donnent au facteur K, la valeur de 0,98 pour la courbe des tiers, et celle de 1,07 pour la courbe des milieux. Si u descend à 0,04, comme pour les grandes ouvertures de 80 m et au delà, K prend les valeurs respectives de 0,97 et de 1,04. quand u va de 0,069 à 0,030, les épures montrent que (1 + c) và de 1,41 à 1,30, et X de 0,575 à 0,572. Leurs valeurs moyennes a de 1,35 et 0,573 ne s'en écartent donc pas de 4 % pour (1 + c) Avec ces valeurs moyennes, et si u = 0,04, le facteur K est égal à 0,97 dans le cas de la courbe des tiers, et à 1,04 avec celle des milieux. 30 Arc surbaissé à 1 10° Enfin pour ce surbaissement cos a u est égal à 0,923, et quand les ouvertures vont de 40 à 100 m décroît de 0,03 à 0,0185. Les épures fournissent alors des valeurs décroissantes de 1,098 à 1,089 pour (1 + ∞), et de 0,522 à 0,518 pour X a Quant à K on trouve qu'il est moyennement égal à 0,93 s'il s'agit de la courbe des tiers, ou bien à 1,035, s'il s'agit de celle des milieux. L'écart donné par la courbe des tiers se trouve ici plus sensible; et cela provient de ce que les épaisseurs attribuées à la clef, qu'on trouvera au tableau II ci-dessous, sont manifestement exagérées, d'où résulte une légère augmentation du rayon de courbure de la courbe des milieux, mais une diminution appréciable de celui de la courbe des tiers (1). En définitive, quelle que soit la forme et la grandeur absolue de l'intrados, le facteur K peut être égalé à l'unité, et l'on peut prendre pour la poussée la simple expression Q = II e R, sans crainte d'erreur sensible. On obtiendra une valeur en général plus forte de 2 à 5 °。 que par la courbe même des tiers, et plus faible de 5 à 4 °。 que par celle des milieux, suivant qu'il s'agira d'un plein cintre ou d'un arc surbaissé. Ce sont là des écarts 0 (1). On remarquera que K n'est en somme que le rapport du rayon p de la courbe des pressions prises à la clef, au rayon R de l'intrados, puisque Q=Пep=Пe RK; et l'on voit aussi que ce rayon de courbure p est plus grand ou plus faible de quelques centièmes que celui de l'intrados suivant que l'on considère la courbe des milieux ou celles des tiers, ce qui est logique. négligeables en pratique, d'autant mieux, chose à noter, qu'ils vont en s'affaiblissant à mesure que la grandeur de la voûte augmente. Et comme au surplus, ni l'une ni l'autre de ces courbes de pression ne s'impose, pas plus en théorie qu'en pratique, la courbe intermédiaire qui correspond à K = 1 est tout aussi acceptable qu'elles-mêmes pour le calcul de la poussée. Nous n'avons pas étendu ces recherches géométriques aux intrados elliptiques; mais il est évident qu'étant admis que le joint de rupture s'y trouve à hauteur de la demi-montée, la partie active s'y confond, à très peu près, avec l'arc moyen correspondant. Par suite la poussée de la voûte doit avoir la même valeur b que celle de l'arc ayant a √3 pour ouverture et 2 pour flèche, les demi-axes de l'ellipse étant a et b. Cet arc moyen aura donc La preuve que de la sorte on tombe sur une juste valeur de la poussée, quand l'intrados est elliptique, résultera du tableau IV du chapitre suivant, qui apporte la vérification générale de la formule complète de la poussée pour toute forme d'intrados. SECTION III. La conclusion des recherches du présent chapitre peut donc être formulée comme suit : 1o Il est démontré algébriquement, que pour une voûte symétrique qui n'est soumise qu'à son propre poids, les formules: Q = П.ер Π.ρ, (3) sont rigoureuses, p étant le rayon de courbure à la clef de la courbe des pressions prise pour faire le calcul de la poussée Q. 2o Pour les voûtes circulaires, les formules: Q = II.eR Y = II.R, (9) dans lesquelles R est le rayon d'intrados, donnent une approximation suffisante en pratique; et l'on peut sans erreur sensible les appliquer à toutes formes d'intrados en prenant pour R le rayon moyen de l'arc compris entre la clef et le joint de rupture. Cette seconde conclusion entraîne des conséquences pratiques d'importance; c'est pourquoi les constructeurs ne trouveront pas superflu que nous en donnions une vérification directe, qui ne laisse dans leur esprit aucune appréhension sur valeur. sa vraie Nous trouvons une première vérification de l'exactitude des formules (9) à la page 465 du tome I du Cours de Ponts de M. CROIZETTE-DESNOYERS. Il y est transcrit un tableau des poussées horizontales et des pressions moyennes à la clef, trouvées pour des voûtes sans surcharge, en plein cintre, offrant des ouvertures de 20, 60 et 100 mètres, les épaisseurs à la clef déduites de la formule pratique e e=0m15+0,15 √2 R, et en appliquant la courbe des tiers avec un poids de 2400 k. pour la maçonnerie. Avec ces données les formules (9) deviennent : Q = 2400 k. ×e R et Y=0.24 R Q étant exprimé en kilos par mètre quarré, et y en kilos par centimètre quarré, et nous avons ainsi dressé le tableau comparatif suivant : TABLEAU I. VOUTES EN PLEIN CINTRE, SANS SURCHARGE. Ce tableau apporte une première preuve que les formules (9) fournissent les mêmes résultats que les épures avec la courbe des tiers, sauf une majoration de 2 1/2 pour cent. Autant dire que ces |