On reconnaît tout d'abord que ces équations ne sauraient être satisfaites pour aucun groupe de valeurs k et k' imaginaires conjuguées, car les deux termes dont elles se composent seraient eux-mêmes imaginaires conjugués et ils ne pourraient être égaux qu'en devenant réels. On n'a donc encore à considérer que le domaine réel seulement, celui qui correspond à F > 2 √/EIɛ. Les conditions (8)' et (8)" sont encore assez complexes en ce qu'elles font intervenir à la fois les deux racines k et k' et non pas une seule des deux. On ne peut donc facilement dans un cas donné, c'est-à-dire pour une valeur donnée de ɛ, résoudre le groupe des deux équations simultanées constitué par (4) et par l'une des équations (8)' ou (8)", ces dernières étant transcendantes. Il faut se résoudre à des tâtonnements. Cependant ces tâtonnements peuvent être beaucoup réduits par l'artifice suivant dont le principe nous a été suggéré par M. Caquot, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées. et les équations (8)' et (8)" s'écriront respectivement: A un groupe de racines z et z' correspondra d'ailleurs une valeur critique ƒ donnée par l'équation (5) transformée, qui peut s'écrire Cela étant, considérons d'abord le groupe d'équations simultanées (4)' et (8)' et commençons par construire la courbe On reconnaît aisément sur la figure ci-contre les particularités essentielles de cette courbe. La fonction y subit des discontinuités en passant de + pour toutes les valeurs de z égales à un multiple impair de, représentées sur les figures par les points A, A, A,... Elle est régulièrement croissante dans chacun des intervalles délimités par ces valeurs particulières. En outre elle s'annule pour toutes les 2 valeurs de z égales à un multiple pair de, zéro y compris (pour cette dernière valeur la courbe est même tangente à l'axe des z). Les points représentatifs sont Bo B,B,... Deux valeurs z et z' ne peuvent être associées, c'est-à-dire ne peuvent satisfaire à l'équation (8'), que si elles correspondent à des points situés sur une même horizontale, telle que M M' M'..., ou N N' N'.... En second lieu elles ne peuvent satisfaire à la relation (4)' que si elles encadrent le point R d'abscisse connue et égale à Enfin, parmi tous les groupes de valeurs de zz' qui satisferaient à ces deux conditions, il faut, au point de vue pratique, et cela en vertu de la relation (6)', retenir celui qui correspond à la plus faible valeur de z z'. Les points représentatifs doivent donc se trouver sur deux branches successives de courbes, qui ne peuvent être que celles encadrant le point R. On peut d'ailleurs éviter en pratique tout tâtonnement en construisant à l'avance une table donnant pour différentes valeurs chcisies 4 de α = 2 EI aux deux équations (4)' et (8)' et, ce qui est le plus important, les valeurs de z2 + z" qui transportées dans la relation (5)' fourniront la valeur critique minima. On trouvera plus loin une table sommaire de ce genre, qui a été, bien entendu, calculée d'une manière indirecte, c'est-à-dire en partant de valeurs z arbitraires et en en déduisant z', puis les valeurs correspondantes des fonctions × = √zz' et z2 + z'2. les valeurs correspondantes de z et z' satisfaisant Une remarque très importante est à faire ici, au sujet de la valeur de la différence z z' qui figure dans la relation (6)' équivalente à la relation (5)'. On constate d'abord que toutes les fois que z vient à coïncider avec l'un des points A ou B, c'est-à-dire a pour valeur z = ΜΠ m étant un 2 π entier quelconque, on a pour z' la valeur z' = (m + 2) = la fonction y devenant soit nulle, soit in finie, pour ces points. A de pareilles valeurs correspond une suite de valeurs de α = √ zz' Vm (m + 2) == Il s'en suit que pour ces valeurs particulières que nous appellerons z, B z, B., on a : = 2 z' De plus, on a toujours z , et par suite, en vertu de la relation (6)', la valeur critique minima peut avoir pour expression simple + I α On constate ensuite que si z est compris dans un intervalle tel que B. Ai (la valeur de x étant comprise dans l'intervalle correspondant Bizi+1) les points représentatifs, tels que M M' seront sur les branches positives des courbes, et que la différence z'z sera toujours supérieure à π, tout en s'en écartant assez peu, et de moins en moins au α fur et à mesure que l'indice i sera plus grand. Si au contraire z est dans un intervalle tel que A; B; [(la valeur de « étant dans l'intervalle correspondant ; B) les points représentatifs, tels que N et N' seront sur les branches négatives des courbes et la différence z' z sera toujours un peu inférieure à л, tout en s'en rapprochant au fur et à mesure que l'indice i sera plus grand. Il en résulte que la formule (9) sera une formule approchée, très suffisante en pratique, dès que a et par suite seront suffisamment grands. Cela dispense de prolonger bien loin la table dont il est question plus haut. On arriverait à des considérations tout à fait semblables en associant l'équation (8)", au lieu de l'équation (8)', à l'équation (4)'. Nous ne nous y arrêterons pas. Nous nous bornerons à dire que l'équation (9) est valable encore pour la même série de valeurs particulières rentrant dans la formule = √m (m + 2) et qu'elle est respectivement approchée par excès, ou par défaut, dans les circonstances où elle se trouvait précédemment approchée par défaut, ou par excès. La valeur critique la plus petite est donc tantôt celle qui correspond à la condition (8)' tantôt celle qui correspond à la condition (8)", de sorte que la formule (9), exacte pour une série de valeurs particulières isolées, est toujours approchée par excès dans les autres cas. Elle n'en reste pas moins des plus intéressantes. Pour terminer nous donnons ci-contre la table des valeurs corres1.4/EI pondantes de = et de la fonction z' + z" à porter dans 2 l'équation (5)' ainsi que de l'expression + 2zz', qui en est une valeur approchée donnant naissance à l'expression (9). V8, on ne commet que des erreurs rela Au delà de la valeur α = V8, 2 tives insignifiantes en adoptant l'expression (9). Dès l'intervalle allant de V3 à V8 les erreurs relatives ne dépassent pas 6 %. |