N° 14 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES CRUES Par M. BONNEAU, Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées. Cette étude a été entreprise pour expliquer certaines singularités des crues du Fleuve Rouge au Tonkin; elle a fait l'objet de très nombreuses conversations entre l'auteur et M. Lochard, ingénieur en chef des Mines en Indo-Chine, ou M. Normandin, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées à Hanoi. C'est grâce aux indications d'ordre scientifique données par M. Lochard et aux renseignements d'ordre technique donnés par M. Normandin qu'elle a pu prendre une forme un peu précise. Lorsque l'on introduit dans un cours d'eau à régime à peu près uniforme et permanent un volume d'eau supplémentaire, il se produit une intumescense qui se propage dans certaines conditions. C'est cette propagation que l'on se propose d'étudier. On supposera que la longueur de l'intumescence est assez grande par rapport à sa flèche pour que les dérivées secondes soient négligeables, de façon que les équations du mouvement de la masse liquide soient les suivantes : où h est la profondeur moyenne d'une section droite supposée de forme à peu près constante quand l'abscisse x varie, u est la vitesse moyenne de l'écoulement dans cette section droite, I est la pente du fond, b est un coefficient qui dépend du cours d'eau et qui varie assez lentement avec h pour que ses dérivées puissent être négligées. L'écoulement est donc caractérisé par les valeurs de ĥ et u en fonction de l'abscisse x et du temps t. On sait que la première de ces deux équations est celle qui exprime la conservation des volumes: elle est rigoureusement exacte; la seconde est celle des quantités de mouvement projetées sur l'horizontale: elle ne serait rigoureusement exacte que si la vitesse en chaque point de la section droite était égale à la vitesse moyenne u, et cette hypothèse est en contradiction avec l'existence du terme qui exprime la résistance à l'écoulement, mais il est facile de montrer que l'écart provenant des différences de vitesse est généralement négligeable. Dans les applications numériques que nous ferons, nous supposerons souvent que les caractéristiques du cours d'eau sont celles du Fleuve Rouge entre Vietri et Hanoï pendant les crues ordinaires, soit pour le lit mineur : Le débit du fleuve est alors de 20.000 mètres cubes; pendant les grandes crues il dépasse 25.000 m. c. II. CARACTÉRISTIQUES PRINCIPALES DES DEUX ÉQUATIONS. Dans le régime d'un cours d'eau l'expérience donne aisément la cote de la surface liquide sur une échelle, h est donc connu en fonction de t en un point x。 ; si en outre on pouvait mesurer avec autant de facilité la vitesse moyenne u au même point, les deux dh du équations (1) résolues par rapport à et feraient connaître, de dx dx proche en proche, l'état du cours d'eau. Cet état serait ainsi déterminé par la connaissance des deux fonctions het u du temps t au point x。. Cette manière de procéder supposerait d'ailleurs que, en cheminant de proche en proche, on ne rencontre jamais de point critique des fonctions h et u des deux variables x et t; on est conduit ainsi à la recherche des points critiques les plus apparents. L'un d'eux est très connu; il est mis en évidence par la forme même des deux équations à résoudre par rapport à déterminant des quatre coefficients est dh du et dx dx' et quand il s'annule on est au point critique en question. le Cela peut se produire pour les cours d'eau d'une pente assez forte et aussi pour les petits fleuves de marée à peu près horizontaux quand le fond découvre à marée basse. Pour les grands fleuves dont le débit propre est assez important et dont la profondeur est encore notable à tout état de la marée, l'expression est nettement positive. Dans l'exemple numérique qui a été choisi, le premier terme est de l'ordre de 100, le deuxième terme est de l'ordre de 4. On admettra donc qu'il n'y a pas à se préoccuper de ce point critique. Un autre point critique est donné par car le terme bu2 qui exprime la résistance à l'écoulement est toujours du signe de u; il devrait donc s'écrire bu modu dont la dérivée seconde est discontinue pour u = 0. On est gêné par ce point critique quand on étudie la propagation de l'onde-marée de proche en proche dans un fleuve à faible débit propre et qui par suite présente des renversements de courant. On admettra cependant que l'étude des crues se fait dans la partie du fleuve où le débit propre u est nettement positif, ce qui a lieu pour tous les grands cours d'eau, sauf au voisinage. immédiat de leur embouchure. Ces deux points critiques qui tiennent à la constitution même des équations de l'écoulement ne seront donc pas gênants pour l'étude des crues des grands fleuves, il ne restera que les points. critiques que l'on introduit dans les fonctions que l'on se donne pour déterminer le problème. Ils proviennent d'un changement brusque dans l'état du cours d'eau, par exemple au moment où l'intumescence atteint le point x, et où, par suite, les dérivées successives de het u qui étaient nulles auparavant prennent des valeurs appréciables. On a vu au début du présent paragraphe que les équations 1) donnent het u quand on connaît ces quantités en fonction du temps au point xo. Le problème est également déterminé quand on connaît l'une des deux expressions ʼn ou u en fonction du temps en deux points xo et x1, comme cela arrive pour un canal dont les extrémités sont en communication avec deux fleuves à marée de régime connu. Dans ce cas la résolution par cheminement de proche en proche n'est plus possible. On peut supposer que le point x, est très éloigné et que h y est constant, c'est-à-dire que les changements de régime constatés 1. en xo se sont atténués au point de passer inaperçus en x1. C'est le cas des crues des cours d'eau supposés prolongés assez loin vers l'aval, et le problème de la propagation des crues est précisément celui qui consiste à rechercher en un point quelconque vers l'aval la forme d'une intumescence que l'on vue passer en un point x。 situé à l'amont. III. CAS OU LE SECOND MEMBRE DE LA DEUXIÈME ÉQUATION Dans ce cas les deux équations 1) se réduisent à que soit A et B sont des constantes telles que u est égal à la vitesse de régime uniforme en dehors des limites de l'intumescence. Si en un point x, on se donne une intumescence telle une fonction connue de t, cette intumescence se propage sens avec la vitesse u + w ou dans l'autre sens avec la vitesse wu, selon que l'on prend la première solution ou la deuxième. dans un |