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mité. Si donc on appelle A la réaction réelle de l'appui et M son moment d'encastrement, on aura les deux relations :

f+A. f" + M. f" = ()
c+A. C'+ M.c" = 0

On en tirera les valeurs de A et de M.

Pour déterminer, en tous les points de la travée, les valeurs réelles des moments produits par des charges réparties comme les P mais dont la somme ou la moyenne est égale à l'unité, il suffira d'ajouter algébriquement les ordonnées du premier polygone funiculaire, celles du second multipliées par A et celles du troisième multipliées par M.

On procèdera exactement de la même manière par addition algébrique des ordonnées des lignes élastiques pour déterminer les flèches et les coefficients angulaires de tous les points de la fibre déformée sous les charges unitaires.

Si l'on veut répéter la même opération pour une autre répartition des charges, elle sera beaucoup plus rapide car on utilisera les polygones correspondants à la réaction unitaire de l'appui et à l'encastrement unitaire, construits une première fois qui ne peuvent varier.

On procedera de même pour déterminer les effets produits sur la poutre équivalente par les réactions R qui, au sens près, produisent sur le longeron rigide les mêmes effets que des charges pesantes. La simplification indiquée dans l'alinéa précédent sera applicable.

Des trois sortes de quantités ainsi déterminées à la fois : les moments de flexion, les flèches et les coefficients augulaires, produits par les charges unitaires, les dernières seulement qui sont désignées par ß et y dans les équations (1) et (2), sont nécessaires pour les résoudre.

Pour déterminer la valeur du terme al. $ tang. O, on élèvera au milieu de chaque élément de longeron, une ordonnée égale à Al. $ ; par son extrémité, on abaissera une perpendiculaire sur la tangente à l'élément d'arc correspondant et on la prolongera jusqu'au longeron. La somme des segments du longeron compris

entre chaque ordonnée et la perpendiculaire correspondante donnera la valeur de S Al. Stang. 0.

Il en sera de mème du terme Ell. qtang. 0.

Ceci fait, on pourra résoudre les équations (1) et (2) qui donneront la valeur de la réaction de l'arc R correspondante à une charge P quelconque ou à une variation linéaire t.

Une fois connue la valeur de R, on obtient très rapidement toutes les quantités qu'il est utile de déterminer.

Le raccourcissement de l'arc à la clefest KR et la pression unitaire correspondante est KRE. La valeur totale de la poussée Q s'obtient en multipliant la pression unitaire par la section de l'arc. La pression totale supportée par un élément d'arc incliné de l'angle O sur

Q l'horizontale est évidemment

Cos 0 La détermination des moments et des flèches de la poutre équivalente est aussi simple.

Pour obtenir une courbe dont les ordonnées représentent les moments de flexion pour tous les points de la travée, il suffit d'ajouter algébriquement, après les avoir inultipliées par P, les ordonnées de la courbe des moments produits par des charges unitaires réparties comme les P et, après les avoir multipliées par R, les ordonnées de la courbe des moments produits par les réactions unitaires. Ces courbes ont été construites en même temps que celles des coefficients angulaires.

On construira de la même manière par addition algébrique, la courbe qui donnera les flèches de lous les points de la travée et on aura ainsi les renseignements les plus complets qu'on peut désirer, dans le cas où sont réunies toutes les complications possibles.

Sans doute, les constructions à faire sont nombreuses mais elles se réduisent aux opérations les plus simples : constructions de polygones de forces et de polygones funiculaires, additions algébriques d'ordonnées.

Il convient de remarquer que contrairement à ce qui a lieu dans certaines méthodes graphiques, les lignes dont on doit déterminer les intersections, se coupent sous des angles suffisants pour donner des résultats exacts.

VII. – Application dans un cas simple. - C'est surtout la variation suivant une loi quelconque de la section de l'arc et du moment d'inertie total fictif 1 + la cos O qui rend laborieuse la solution en empêchant l'intégration des formules (1) et (2). Cette difficulté n'existe pas dans les ponts suspendus sans haubans obliques dont le tablier est raidi par des poutres à section constante, ni dans les ponts fixes dont l'arc a une section de hauteur conslante et d'épaisseurs transversales inversement proportionnelles à cos 0. Ce type mérite l'attention parce que la pression développée dans l'arc par la poussée est partout proportionnelle à la section et produit une fatigue uniforme.

On peut aussi, sans erreur sensible, traiter comme ayant un moment d'inertie constant les ponts dont la voûte formée de bélon fretté a une faible épaisseur et dont la rigidité est produite surtout par des longerons à section constante.

Le problème devient encore plus simple si, en outre, la fibre moyenne de l'arc est une parabole et cette condition semble devoir élre le plus souvent remplie parce qu'elle est nécessaire pour réduire les moments de flexion produits par le poids propre de l'ouvrage et par la charge uniformément répartie à la valeur minimum qui a pour cause le raccourcissement de l'arc sous la poussée.

On aura souvent avantage à réaliser ces conditions pour réduire la dépense au minimum. Alors même qu'elles ne seraient pas remplies, il serait commode d'admettre d'abord qu'elles le sont, pour calculer très rapidement des valeurs approximatives des moments de flexion qui permettraient d'arrêter les dimensions définitives. On déterminerait ensuite exactement les moments et les flèches par la méthode graphique qui vient d'être exposée.

Il est donc particulièrement intéressant d'établir en négligeant suivant l'usage, les efforts tranchants, les formules qui conviennent au cas le plus simple défini plus haut qui satisfait aux trois conditions suivantes : L'équation de la fibre neutre de l'arc est celle d'une parabole

P y

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Ann. des P. et Ch. MÉMOIRES.

1903-1.

7

La section de l'arc varie suivant la loi i = cos (). Sa valeur à la clef est représentée par 0.

Le moment d'inertie fictif 1' + la cos O est constant.

Le premier terme de l’equation générale (1) ne dépend que de la forme de l'arc. La quantité K qu'il renferme, est le raccourcissement que subit l'unité de longueur d'arc à la clef, lorsque la valeur par mètre courant des réactions R est égale à la tonne de 1.000 kilogrammes. On a donc la relation K = 6, 9 élant la poussée produite par les réaclions-unité. En égalant les moments des réactions et de la poussée pris

1.0001 par rapport aux naissances, on écrit q= et on en déduit

8F 1.000 1 K 8 FE 12°

i En raison de la relation i = cos 0, l'expression

cos? 0

se réduit 1 a et on trouve qu'elle a pour valeur 1 + pa x' parce que

cos? tang. O, coefficient angulaire de la parabole est égal à px.

En introduisant ces simplifications dans le premier terme, on le rend facilement intégrable.

La solution est aussi simple pour le second terme de l'équation (1).

Il faut d'abord déterminer les coefficients angulaires de la fibre neutre du longeron déformé par les réactions uniformément réparties dont la valeur par mètre courant R serait égale à la tonneunité. On écrit d'abord l'équation connue des moments de flexion de la poutre encastrée et chargée uniformément d'une tonne par mètre en plaçant l'origine des coordonnées au centre de la travée el en appelant a la demi-ouverture.

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En intégrant une première fois, on obtient les coefficients angulaires :

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Cette équation suffit pour simplifier l'équation (1) mais en intégrant une seconde fois, on aura d'avance l'équation qui donne les ordonnées de la fibre déformée dont on aura besoin ultérieurement:

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Ceci fait, on reprend l'équation (4), on en multiplie les termes par dl tang. O, c'est-à-dire par p.xdə; on intègre et on obtient ainsi la valeur de L Al., lang. 0.

On procède exactement de même pour le troisième terme.

Dans le cas où les charges sont uniforinément réparties sur toute la travée, les s sont identiques au y et l'intégration de la formule générale (1) donne l'équation suivante : .

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Mais le paramètre p de la parabole peut élre exprimé en fonction de la flèche f et de la portée le et il est commode de mettre sous la forme suivante l'équation qui donne la valeur R des réactions lorsque l'arche porte la charge uniformément répartie P.

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L'équalion (2) qui donne les réactions produites par une varialion linéaire 1, est de même remplacée par l'équation :

(8)

R [5 (1 + 7) +41]

8+ E 1000 (2

Le raisonnement suivant permet d'écrire directement l'équation qui convient au cas où la charge par mètre courant P couvre la moitié seulement de la travée.

Si on réalise cette charge dissymétrique d'abord à gauche puis à droite du milieu de la travée, on développe, à chaque fois, des réactions qui sont évidemment égales et finalement on a réalisé la charge totale. Par suite, une charge uniformément répartie sur la moitié de la travée produit, entre l'arc flexible et le longeron

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