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γ

déterminée par la forme de l'arc. Si donc on désigne par ẞ et les coefficients angulaires de la fibre déformée du longeron correspondant respectivement à des charges ou à des sous-pressions qui seraient réparties comme P et R mais dont la somme ou la moyenne serait, pour chacune, égale à la tonne prise pour unité, le coeffi cient angulaire de la fibre du longeron en un point quelconque sera la somme algébrique

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ab (fig. 3) faisant avec l'horizontale un angle de construction O subit un raccourcissement be sous l'action de la poussée, et si le longeron reste horizontal, le point c viendra en d sur l'horizontale passant par le point b et la projection horizontale de l'élément bc sera diminuée de db Cos O

En remplaçant le raccourcissement be par sa valeur indiquée

plus haut, on obtient l'égalité db =

Al.K.R.i

Cos3 O

Si un élément de longeron AB

20 Inclinaison du longeron. prend une inclinaison AC (fig. 4), l'élément d'arc correspondant ab prendra une inclinaison telle que be soit égal à BC. Il est inutile de répéter, pour le prouver, les observations qui ont été faites pour établir la première proposition.

La diminution de la projection horizontale de l'élément d'arc sera el BC. Tang. O=Al (3P+R) Tg. O, les coefficients angulaires ety devant être considérés comme négatifs ou positifs suivant que les inclinaisons du longeron déformé sont de mème sens que les inclinaisons primitives de l'arc ou de sens contraire.

Si les culées sont supposées immobiles, la somme des variations des projections horizontales de tous les éléments de l'arc doit être nulle. En l'exprimant, on obtient l'équation suivante dans laquelle il ne reste comme inconnue, que la valeur R des réactions :

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On obtient d'une manière analogue l'équation qui convient au calcul des effets des variations thermiques ou de toute autre cause tendant à modifier la longueur des éléments dont l'arc est formé. En effet, si l'arc était libre d'obéir aux causes de déformation linéaire qui tendent à faire varier de t sa longueur unitaire, l'écartement de ses naissances varierait de tl. En empêchant ce déplacement, les culées imposent à la corde de l'arc une variation de longueur l.

Pour déterminer la valeur de la réaction R que produit la variation linéaire t, on doit donc égaler à l la somme des variations que cette réaction produit et on obtient ainsi l'équation :

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On remarquera que les premiers termes des équations (1) et (2) sont identiques et on se rendra compte de la manière suivante qu'il doit en être ainsi sous toutes les charges de nature quelconque en se reportant aux considérations qui ont conduit à ces formules.

Les réactions R ne sont pas les réactions qui se produisent réellement entre l'arc et le longeron réel qui tous deux peuvent

être plus ou moins rigides. Ce sont les réactions qui se produiraient entre ces deux parties de la construction si la rigidité étant entièrement transportée au longeron suivant la règle énoncée, l'arc avait la flexibilité complète d'un câble linéaire.

Il est évident que, dans ces conditions, la loi de répartition des réactions sur la longueur de la travée est invariable et déterminée par le tracé de la fibre neutre quelle que soit la charge et que, par suite, les y coefficients angulaires de la fibre du longeron déformée par la réaction-unité sont eux-mêmes indépendants des charges. Il en est de même des y tang. O et les A Tang. O.

R étant déterminé par l'une ou l'autre de ces équations, il reste à calculer les efforts qui se produisent dans les deux pièces qu'on peut considérer comme indépendantes :

1° L'arc non rigide supportant les réactions verticales dont la somme ou la moyenne est R et dont la loi de répartition sur la longueur de la travée est connue et telle qu'elles n'imposent à l'arc que des pressions dirigées suivant sa fibre neutre ;

2o Le longeron rigide portant les charges P et soulagé par les réactions R.

Les moments de flexion et les efforts tranchants que cette fiction attribue en entier au longeron, sont, en réalité, les sommes des moments de flexion et des efforts tranchants supportés par le longeron et par l'arc. Ils devront donc finalement être répartis entre ces deux pièces, pour les moments de flexion, proportionnellement au moment d'inertie du longeron et au moment d'inertie de l'arc multiplié par cos O et, pour les efforts tranchants, proportionnellement aux sections multipliées respectivement par leurs modules d'élasticité.

VI. Application dans le cas général. Le cas le plus compliqué est celui où le tracé de la fibre moyenne de l'arc est quelconque, où la section de l'arc et le moment d'inertie fictif total varient, d'un point à l'autre, suivant une loi quelconque et où les charges à considérer sont réparties suivant une loi quelconque. On va indiquer comment, dans ce cas, on peut déterminer les valeurs des trois Σ qui figurent dans les équations (1) et (2), résoudre

ces équations et déterminer, pour tous les points de la travée, les valeurs des moments de flexion, des coefficients angulaires de la courbe de déformation et des flèches de l'arc et du longeron.

K est le raccourcissement que l'unité de longueur d'arc prendrait à la clef si R, somme ou moyenne des réactions, était égale à l'unité. On a déjà dit que les règles élémentaires de la statique permettent d'en déterminer la valeur. Il est inutile de les rappeler.

Pour calculer les autres quantités qui figurent dans la formule, on divisera la travée en un certain nombre de parties choisies de telle sorte que dans aucune d'elles, il n'y ait de grandes variations de section, de moment d'inertie ou de charge.

Pour déterminer la valeur de Al

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O

Cos3 pour l'un quelconque de ces éléments, on portera une longueur Al.i sur l'un des côtés de l'angle O; par son extrémité, on élèvera une perpendiculaire; par le point où cette perpendiculaire rencontrera l'autre côté de l'angle, on élèvera une seconde perpendiculaire et on répètera l'opération une troisième fois.

La somme des segments compris dans chaque angle entre son

i

sommet et la troisième perpendiculaire sera égale à EA. Cos3 O

Le calcul des deux autres termes nécessite la connaissance préalable des valeurs des et des 7. On va indiquer comment on les déterminera en même temps que les éléments qui serviront ultérieurement au calcul des moments de flexion et des flèches en tous les points de la travée.

Supposons qu'il s'agisse des f, coefficients angulaires de la fibre déformée sous l'action de charges qui seraient réparties comme les P mais dont la somme ou la moyenne serait égale à la tonneunité.

Par hypothèse, la poutre équivalente comme rigidité à l'arc et au longeron réunis, poutre dont on doit calculer les déformations, at des moments d'inertie I + Ia cos O qui varient d'une section à l'autre suivant une loi compliquée et quelconque. Il est, par suite, impossible de recourir aux procédés algébriques qui nécessitent des intégrations et, on doit le noter, on retrouverait la même im

possibilité, quelque méthode de calcul qui fût employée. On devra donc recourir aux procédés approximatifs par sommations numériques ou mieux aux méthodes graphiques, par exemple à celle qui est décrite dans les Applications de la statique graphique de M. Maurice Koechlin.

Le problème à résoudre dans le cas général est le suivant. Etant donnée une poutre droite dont les moments d'inertie varient suivant une loi quelconque et qui porte des charges réparties suivant une loi quelconque, déterminer pour tous ses points, les moments de flexion ainsi que les coefficients angulaires et les ordonnées de la fibre déformée. Si la poutre était simplement posée sur ses appuis et ce serait le cas de la poutre équivalente à un arc articulé. aux naissances, la solution extrêmement simple serait donnée par la statique élémentaire. On ne traitera que le cas le plus compliqué d'une poutre encastrée aux deux extrémités.

On supposera d'abord la poutre encastrée à une extrémité et libre à l'autre. On construira le polygone des forces, c'est-à-dire, dans l'espèce, celui des charges que la travée supporte, qui sont réparties comme les P mais dont la somme ou la moyenne est égale à l'unité. Puis, par les procédés usuels, on construira le polygone funiculaire dont les ordonnées donneront les moments de flexion.

Considérant ensuite les moments de flexion comme des forces, on fera un nouveau polygone des forces et un nouveau polygone funiculaire appelé ligne élastique qui donnera les ordonnées et les coefficients angulaires de la fibre déformée. Soient c et le coefficient angulaire et la flèche à l'extrémité libre de la poutre.

On fera exactement les mêmes opérations pour la même poutre débarrassée de toute charge et soulagée à l'extrémité libre par une réaction d'appui égale à l'unité. On trouvera d'autres valeurs c' et f' du coefficient angulaire et de la flèche à l'extrémité libre.

On répétera une troisième fois cette opération en supposant que l'extrémité libre de la poutre est soumise à un moment de flexion égal à l'unité. On trouvera de nouvelles valeurs c" et f".

Sous l'action des charges ainsi que de la réaction et du moment d'encastrement produit par l'appui qui avait été provisoirement supprimé, la flèche et l'inclinaison doivent être nulles à l'extré

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