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C'est pour ce motif que, dans la fig. 2, on n'a pas indiqué la différence qui se produit dans l'écartement des points a et c quand d vient en d'.

Ces fais conduisent aux déductions suivantes :

Le point d de la fig. 2 étant assujetti à rester à une distance constante du point B auquel il est réuni par un montant de longueur invariable, les raisonnements qui ont donné la relation B'B”= b'bcos 0 (fig. 1) donnent la relation B'B” = d d' cos 0 (fig. 2).

D'autre part, tous les angles de la fig. 2 étant égaux à 0' ou à 90°, et les éléments d'arc étant égaux à leurs projections sur la

dd corde, les angles dad' et dcd' ont pour valeur c'est-à-dire

ab B'B” cos o B’B" A'B' A'B'. cos

Les angles dad' et dcd' de la fig. 2 sont donc égaux aux angles B’A'B” et B'C'B” de la fig. 1 et il y a, de même, égalité entre = dad' + ded' et c'= B'A'B” + B'C' B”.

Les variations de courbure des éléments du longeron et de l'arc ont pour valeurs et

2 외

· Leur rapport est donc égal à

AB a b. ab 1 AB cos 0

Or, on sait que deux pièces droites ou courbes produisent des moments de flexion égaux lorsque leurs moments d'inertie sont dans le rapport inverse de leurs variations de courbure. Si donc on annule le moment d'inertie la de chaque élément de l'arc et sil'on augmente de la. cos ( le moment d'inertie de l'élément correspondant du longeron, la somme des moments de flexion existants dans l'une quelconque des sections verticales du système faites perpendiculairement à l'axe longitudinal ne sera pas changée et satisfera aux équations d'équilibre comme les moments de flexion du système primitif.

La suppression de la seule rigidité de l'arc n'a évidemment modifié en rien les pressions normales qui agissent sur les sections

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de cette pièce dont on a conservé la fibre neutre en y concentrant la totalité de la matière résistante.

En somme, donc, si dans un ouvrage du type considéré qui est en équilibre sous l'action de charges et de températures quelconques, on fait de l'arc au longeron le transport du moment d'inertie défini plus haut, on constitue un système fictif qui, avec les mêmes déformations, produit les mêmes moments totaux de flexion et les mêmes pressions normales que le système primitif.

Par suite, pour déterminer les moments de flexion et les pressions normales de l'arc dans le système réel, il suffit de les déterminer dans le système modifié.

Le moment de flexion ainsi calculé pour chaque section verticale doit être réparti entre le longeron et l'arc réels proportionnellement à Il et la, cos 0.

dys M On aurait pu déduire ce qui précède de la formule

dx

ΕΙ

ds qui figure dans la théorie classique des arcs élastiques et supprimer la démonstration qui précède. Eddy l'a fait et a basé une méthode de calcul sur la notion des poutres droites correspondantes aux arcs. Il a paru néanmoins nécessaire de donner une démonstration qu'on puisse saisir sans étudier la théorie des arcs dont il ne sera fait aucun usage dans le reste de cette étude.

Une démonstration analogue s'applique aux efforts tranchants. La voici :

Dans la fig. 1, on considère la moitié de gauche et on admet que les angles égaux B’A'B” et b' a'b" représentent non plus des flexions mais des glissements produits par l'effort tranchant. Les glissements par unité de longueur sont proportionnels à ces angles, c'est-à-dire égaux.

Pour que le longeron donne le même effort tranchant que l'arc, il faut donc qu'il ait une section d'égale surface. On peut concilier cette condition avec celle qu'impose l'équivalence au point de vue des moments de flexion en donnant au longeron la section 2a et un rayon de gyration ra V cos 0, 2a et ra étant l'aire et le rayon de gyration de la section de l'arc.

2

Dans ce qui précède, on a supposé les montants infiniment rapprochés. On peut répéter les mêmes raisonnements lorsque les montants sont séparés par des distances finies pourvu que les charges soient concentrées dans les verticales des montants, et on aboutit aux mêmes conclusions mais elles s'appliquent, dans ce cas, à des courbures moyennes et à des inclinaisons moyennes de l'arc.

Pour pouvoir étendre ces conclusions aux courbures et aux inclinaisons locales et, par suite, aux moments réels de flexion, il suffit de remarquer que, dans l'intervalle de deux montants entre lesquels il n'y a pas de charges, les moments de flexion et, par suite, si la section varie peu, les courbures varient suivant une loi linéaire. La relation établie entre les valeurs moyennes de la courbure et de l'inclinaison, s'applique donc forcément à leurs valeurs locales.

En général, les charges ne sont pas concentrées dans les verticales des montants. Leurs porte-à-faux produisent des moments de flexion supplémentaires qu'on doit ajouter algébriquement aux moments de flexion produits par la courbure générale du tablier, la seule dont la détermination présente quelque difficulté.

Les raisonnements qui précèdent, supposent implicitement que l'arc et le longeron, s'il y en a un, sont dans des conditions identiques au point de vue de leurs liaisons avec les piles ou culées, c'est-à-dire que les deux pièces sont encastrées ou qu'aucune d'elles ne l'est.

Si une seule des pièces était encastrée et si les montants verticaux élaient en nombre infini, les mêmes raisonnements s'appliqueraient encore, mais, à l'extrémité, l'arc devrait produire la totalité du moment de flexion qui, ailleurs, serait fourni par le longeron, et les derniers montants devraient exercer des efforts infinis parce qu'agissant sur des bras de levier infiniment petits, ils devraient donner des courbures finies aux derniers éléments de la pièce non encastrée. Ce cas irréalisable n'offre aucun intérêt.

L'impossibilité disparait si les montants sont séparés par des distances finies et les applications montrent que les plus chargés ne supportent alors que des efforts parfaitement admissibles. Il serait

difficile de déterminer avec une entière exactitude les efforts qui se produisent alors aux extrémités, mais on peut, sans dépenses notables, résoudre pratiquement la difficulté en exagérant les dimensions de la pièce encastrée aux extrémités sur de petites longueurs.

En dehors de ces points singuliers des systèmes hétérogènes, on détermine exactement l'effort que subit chaque montant, en faisant la différence des efforts tranchants que le longeron réel subit de part et d'autre de ce montant et en y ajoutant algébriquement la charge réelle concentrée sur le longeron près du même montant.

II. Application de la proposition précédente. On admiettra que la somme modifiée l' + la cos ( des moments d'inertie de l'arc et du longeron et la somme 2, +2, des rigidités de cisaillement sont concentrées dans le longeron et, par suite, qu'au sens près, l'arc travaille comme les câbles des ponts suspendus et ne fournit que des efforts dirigés suivant sa fibre neutre.

D'autre part, les montants étant supposés assez résistants pour que les variations de leurs longueurs soient négligeables, on peut déplacer verticalement les poids qui agissent sur eux. On reportera, en conséquence, les poids des diverses parties de l'arc sur les parties correspondantes du longeron.

L'arc ainsi privé de raideur et de pesanteur est en équilibre entre les réactions qu'il exerce sur le longeron par l'intermédiaire des montants et les résistances des culées qu'on suppose immobiles.

Le longeron est en équilibre entre les charges qu'il supporte et les réactions des culées et des montants qui le soulagent.

Pour être à même de calculer les efforts qui se produisent dans ces deux pièces en considérant chacune d'elles comme indépendante de l'autre, il suffit donc de déterminer d'abord les valeurs des réactions que les montants transmettent de l'une à l'autre. On connaît d'avance la loi de la répartition de ces réactions sur la longueur de la travée qui dépend uniquement du tracé de la fibre neutre de l'arc de même que, dans les ponts suspendus rigides,

elle ne dépend que de la forme du câble et, par suite, il suffit de déterminer la somme ou la valeur moyenne R de ces réactions pour en connaître toutes les valeurs. On y arrive de la manière suivante.

III. Rapport des réactions aux raccourcissements de l'arc. -- Les règles élémentaires de la statique permettent de déduire très simplement de la somme ou de la moyenne R des réactions dont on connait la répartition, la poussée qui se produit à la clef dans l'arc dépourvu de toute rigidité. Elle est évidemment proportionnelle à R.

En divisant cette poussée par l'aire de la section de l'arc à la clef et par le module d'élasticité de la matière dont il est formé, on obtient la valeur r du raccourcissement de l'unité de longueur de l'arc à la clef. On a donc une première relation : r=-KR, K étant un coefficient numérique dont la valeur ne dépend que du tracé de la fibre moyenne de l'arc, de la section de l'arc à la clef et du module d'élasticité de la matière dont il est formé.

On appellera l la longueur du longeron qui est aussi la projection horizontale de l'arc et i le rapport des aires des sections faites dans l'arc à la clef et en l’un quelconque de ses points. La valeur du raccourcissement d'un élément d'arc dont la projection est Al et dont l'inclinaison sur l'horizontale est o, s'en déduit aisément;

Al.K.R.I. elle est

Cos? (

IV. Rapport des charges et des réactions aux déformations du longeron. - Lorsqu'une poutre horizontale supporte des charges verticales dont la somme ou la valeur moyenne est donnée et dont la loi de répartition est connue, les formules de la résistance des matériaux permettent de déterminer l'équation de sa fibre neutre déformée et, de calculer pour l'un quelconque de ses points, le coefficient angulaire de la tangente qui est évidemment proportionnel à la somme ou à la moyenne des charges.

Le longeron est une poutre en équilibre sous l'action de poids connus P et des réactions R de l'arc dont la loi de répartition est

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