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Pour le poids du ciment remplaçant la chaux prévue (fraction du

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1 poids total employé égale à 7 au P. S. Cannes et à au P. S. SaintRaphaël), on l'a payé à 28 fr. 60, excédent du prix du ciment au bordereau (63 fr. 80) sur le prix de la chaux (35 fr. 20); le reste, représentant du ciment supplémentaire, a été payé au prix du ciment, 63 fr. 80.

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La construction des culées et voûtes des deux ouvrages s'est effectuée : pour le pont Cannes, du 15 mai au 26 juillet, pour le pont Saint-Raphaël, du 25 septembre au 15 novembre 1902.

Les projets ont été dressés et les travaux exécutés sous la direction de M. l'Ingénieur en chef Périer par M. Thérel, Ingénieur ordinaire, avec le concours de MM. Berrutly, Conducteur principal et Astroin Romain, Conducteur chargé des travaux.

Draguignan, le 6 juillet 1904.

No 6

CALCUL DES PONTS EN ARC

ET DES PONTS SUSPENDUS

Par M. CONSIDÈRE, Inspecteur général des Ponts et Chaussées.

Un pont suspendu rigide dépourvu de haubans obliques, et c'est le seul type dont il sera question ici, est formé d'un câble parabolique dont la raideur transversale est négligeable, d'un tablier raidi par une poutre et de tiges de suspension par lesquelles s'exercent les réactions réciproques du câble et du tablier.

Trois sortes d'efforts assurent l'équilibre de la construction; d'une part, dans le cable, des tensions dirigées suivant la ligne des centres de gravité de ses sections; de l'autre, dans le tablier, des moments de flexion et des efforts tranchants et, pour les relier, des tensions simples dans les barres de suspension.

On peut ramener au calcul de tels ouvrages celui des ponts en arc en renversant le sens des efforts et c'est chose évidente pour ceux dont la voûte serait assez mince dans le sens normal à l'intrados pour que sa rigidité fût négligeable par rapport à celle du tablier et dont les tympans seraient formés de montants verticaux non triangulés et articulés à leurs extrémités.

On va montrer comment l'assimilation est encore possible si la voûte ou les arcs sont rigides.

Pour éviter les complicacions inutiles, on ne parlera que d'arcs, mais tout ce qui suit, s'applique aussi aux câbles en changeant le sens des efforts.

I. Proposition. Dans toul ouvrage de l'un des types définis plus haut dont les montants verticaux sont suffisamment forls por Ann des P. et Ch. MÉMOIRES. 1903-1.

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qu'on puisse en négliger les deformations longitudinales, on peut supposer nulle la rigidité de l'arc sans allérer l'équilibre sous une charge quelconque et sans changer les valeurs des moments de flexion et des efforts tranchants qui existent dans une section transversale et verticale quelconque, à la condition d'augmenter la section de chaque élément des longerons réels ou fictifs du tablier d'une

quantité égale à la section de l'éléA B

с

ment correspondant de l'arc et d'augB"

C' menter le moment d'inertie de chaA

que élément des longerons d'une B'

quantité égale au produit du moment d'inertie de l'élément d'arc correspondant par le cosinus de l'angle O que cet élément fait aree l'horizontale.

On supposera les montants verticaux infiniment nombreux et rapprochés, sauf à examiner ensuite ce qui a lieu s'il n'en est pas ainsi.

On fera d'abord la démonstration pour le moment d'inertie et on reviendra plus tard à l'effort tranchant.

Soient ABC et abc fig. 1), deux éléments d'un longeron horizontal et d'une poutre droile inclinée et

réunie au longeron par trois monFig. 1.

fants Aa, Bb et Cc qui étaient ver

ticaux avant le chargement. L'application d'une charge produira des courbures et des déplacements des deux pièces que représentent les lignes A'B'C' el a'B'c'.

B” et l" sont les milieux des lignes droites fictives qui réunissent A' et C', a' et c'.

On constate ce qui suit :

e

6"

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1° Les distances de B'à l' et de B" à l" sont égales à la longueur du montant Bb et, par suite, égales entre elles.

La différence des angles a' eta" que les lignes B' b'et B” b” font avec la verticale, est très petite et du même ordre de grandeur que b'B". La différence des projections verticales de B’B” et de b'bqui a pour valeur Bb (cos a'- cos x"), est donc d'un ordre de grandeur inférieur à celui de l’bet, par suite, de mb.

On fait donc une erreur très petite en admettant que mbest égal à la projection verticale de B’B" et, par suite, à B'B” qui ne diffère de sa projection que d'une quantité très petite parce que les inclinaisons du longeron sous les charges sont elles-mêmes de faible valeur.

2° En général, b'b" est perpendiculaire à a'c' parce que la différence des longueurs que prennent sous la charge les éléments d'arc infiniment voisins a' b' et b'c' est d'un ordre de grandeur inférieur à b’6”. Il n'en est autrement que là où l’6” est nul, c'està-dire aux points d'inflexion de la courbure du longeron et il est inutile d'en tenir compte pour la double raison que cette réserve ne s'applique qu'à une longueur infiniment petite à chaque inflexion et que la courbure y étant nulle, l'influence du moment d'inertie qu'il s'agit de déterminer, est nulle dans celle partie de l'arc.

3° Les angles de déformation que font entr'elles les lignes a c et a' c', sont, en général, négligeables auprès de l'angle de construction O que l'élément ac fait avec l'horizontale. Il n'y a d'exception qu'à la clef où l'angle de construction est nul, mais cela n'a pas d'importance attendu que, dans cette région, l'arc parallèle au longeron subit évidemment les mêmes courbures que lui.

4° Les longueurs A'C' et e'c ne diffèrent que d'une quantité d'ordre inférieur parce que leur différence est produite par les faibles variations des inclinaisons de l'arc et du longeron.

De ces faits, il résulte qu'on ne commet que des erreurs très petites en déduisant de la fig. 1 les deux égalités B' B" =VI" cos () et A'C' = a'c' cos 0.

B’B” 6'6" La relation

en découle et exprime l'égalité des deux A'B” al"

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a

angles B’A'B” et b'a'b" dont on déduira plus loin les conséquences après avoir établi l'égalité correspondante pour un système composé d'un longeron horizontal et d'un arc curviligne. Soient ad et de deux éléments contigus de la fibre neutre de

l'arc dans sa forme naturelle.

Négligeant les déplacements d

dans l'espace de la corde ac, on la prend comme ligne de comparaison et on représente par a d'c la déformation propre que les élémenls en ques

lion subissent sous les acFig. 2.

tions de nature quelconque

dont on veut étudier les effets. Quoique de même ordre géométrique de grandeur, la flèche de construction de l'arc, bd, est beaucoup plus grande que la flèche de déformation dd' et on pourrait croire que son influence modifie pour les arcs les résultats obtenus pour les poutres droites. On se rendra mieux compte qu'il n'en est rien après avoir précisé l'ordre de grandeur des quantités que représente la fig. 2.

Les éléments ad et de sont des infiniment petits du premier ordre.

Les angles dab et dcb ainsi que les angles dad' et dc d' sont du même ordre que les éléments ad et dc, puisque leur somme est égale à l'angle que font entre elles les directions de deux éléments infiniment petits contigus, c'est-à-dire au produit d'une courbure finie par des longueurs intiniment petites.

Toutes les lignes de la figure ne different donc de parallèles et de perpendiculaire à la corde ac que de quantités infiniment petites.

Les flèches ou variations de flèches bd el dd' sont du deuxième ordre comme produits d'angles infiniment petits par des longueurs infiniment petites.

Les quantités dont different, les unes des autres, les longueurs ab, ad' et ad sont du troisième ordre parce qu'elles sont égales aux produits de longueurs infiniment petites par les différences entre l'unilé et les cosinus d'angles infiniment petits.

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