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rigide, des réactions deux fois plus faibles que la même charge uniformément répartie sur toute la travée. L'équation correspondante a donc le même premier membre que l'équation (1) et un second terme deux fois moindre.

Lorsque la travée porte un poids isolé P dont la position est définie par ses distances a et a’ aux naissances, la valeur des réactions R est donnée par une équation dont le premier membre est

8. O?..' )

x

31 15 Des formules simples dont les premiers termes ne varient pas avec le mode de chargement, (on l'avait démontré plus haut) donnent donc, dans tous les cas, les valeurs des réactions R. Quand on connaît ces réactions, le problème est près d'être complètement résolu. En effet, on connait déjà K qui est le raccourcissement de l'unité de longueur de l'arc à la clef sous l'unité de réaction et on en déduit immédiatement la valeur de la poussée q=K.R.E.Q. que l'arc subit.

Quant à la poutre fictive dont la rigidité remplace celles de l'arc et des longerons, elle est en équilibre sous l'action des charges et des réactions qui sont toutes connues. On obtiendra immédiatement ainsi les valeurs des moments de flexion et des flèches en l'un quelconque de ses points.

1o Charge uniformément répartie. - Les charges étant distribuées comme les réactions, la poutre ne supporte que la différence P-R qui est uniformément répartie. Par suite, on aura l'expression des moments en multipliant par EI (P— R) le second terme de l'équa

tion (3)

On aura les valeurs des flèches en multipliant par P-R le second terme de l'équation (5).

Variations linéaires. Ce cas ne diffère du précédent que par ce fait que P est nul.

3° Charge sur la moitié de la portée. - Les équations qui permettent de calculer les valeurs des moments de flexion dans une poutre droite encastrée et chargée uniformément sur la moitié de sa longueur, sont les suivantes : a est la demi-portée et l'origine est à l'extrémité du côté chargé :

[merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small]

Pour obtenir l'équation qui donnera la valeur du moment de flexion en un point quelconque de la poutre équivalente, on ajoutera le second terme de l'équation (9) ou (10) multiplié par EIP et le second terme de l'équation (3) multiplié par EIR, en tenant compte des différences d'origine des abscisses.

Pour avoir les valeurs des flèches, on intégrerait deux fois les équations (9) et (10) et on procèderait d'une manière analogue. 4o Charge isolée P. - Les équalions en de sont pour P égal à

d x® l'unité :

[merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][subsumed][merged small][merged small][merged small][merged small]

Pour avoir l'équation des moments, on ajoulera algébriquement le second terme de l'équation (11) ou (12) multiplié par EIP et le second terme de l'équation (3) multiplié par EIR.

Les moments de flexion totaux ainsi calculés doivent être réparlis finalement entre l'arc et le longeron réel ou fictif dans la proportion des moments d'inertie fictifs l' et le cos 0.

VIII. – Calcul des arches solidaires. - Pour simplifier l'exposé, on remarquera que la formule (1) peut se mettre sous la forme R =mP, m étant un coefficient numérique qui ne dépend que de la forme de l'arc et du mode de réparlition des forces extérieures P.

Soient u arches solidaires dont les arcs et les longerons se prolongent de l'une à l'autre sans encastrement dans les piles ou culées.

On désignera par Ri, R2, ......R, les réactions qui s'exercent entre les arcs et les longerons et par P,, P2, ...... Pr les charges des diverses arches.

Si l'on considère l'une d'entr'elles, la réaction correspondante R; sera l'inconnue et on pourra assimiler les réactions des autres arches à des forces extérieures et par application de l'équation (1) on écrira une équation telle que :

R; = m, Pi + m., P, +.... + mu Put ne R, + ng R2.... + nu Ru

Le second membre renferme toutes les valeurs de P et les valeurs de R moins celle qui correspond à l'arche considérée.

En écrivant des égalités analogues pour toutes les arches, on aura u équations du premier degré à u inconnues et le problème sera résolu.

Les coefficients numériques de ces équations seront calculés au moyen des formules des poutres à travées solidaires.

Le problème serait, en apparence, plus compliqué si les piles étaient élancées et avaient une rigidité transversale négligeable, et si on sous-tendait les arcs par des tirants comme l'a fait Monsieur l'Ingénieur en Chef Harel de la Noé qui s'est d'ailleurs rendu comple depuis longtemps du concours que donne aux arcs la rigidité des tabliers. En réalité, la solution est aussi simple.

Les réactions R auront les mêmes valeurs que si l'arc subissait des raccourcissements horizontaux égaux à la somme de ses raccourcissements vrais et des allongements du lirant.

Si l'on appelle S l'aire de la section moyenne de l'arc, E son module d'élasticité, s' et E' les caractéristiques analogues du tirant, il est facile de se rendre comple qu'au point de vue des réactions et des moments de flexion du longeron, lout se passe comme si le tirant était inextensible et si le module d'élasticité de

S'E l'arc était multiplié par la fraction inférieure à l'unité

SE+S'E'

Enfin, si la rigidité des piles n'était pas négligeable, on pourrait l'annuler et attribuer à la section du tirant un supplément donnant la même résistance élastique à l'écartement des naissances.

IX. Conclusion. - En résumé, l'application des formules des poutres droites permet de résoudre les problèmes que soulève le calcul des arcs symétriques ou non, encastrés ou articulés, indépendants ou reliés à des longerons rigides, supportés par des piles immobiles ou élastiques et pourvus ou non d'entraits.

La méthode employée est applicable quels que soient le tracé de la fibre neutre de l'arc et la loi de variation des sections.

Les formules établies plus haut s'appliquent sans modifications au calcul des ponts suspendus à câbles paraboliques, mais seulement dans le cas où les poutres qui raidissent le tablier, sont assez rigides pour que les déformations des câbles n'en altèrent pas notablement la forme parabolique et que les tensions des tiges de suspension équidistantes restent, à peu près, égales entre elles.

X. Observations. - La théorie complète et exacte des arcs élastiques et des ponts suspendus est depuis longtemps exposée dans divers ouvrages parmi lesquels on peut citer les traités de MM. Bresse, Maurice Lévy, Flamant, Résal et Ritter. On ne doit donc tenter que d'obtenir par des moyens différents des résultats déjà connus.

La méthode exposée dans celte note parait pouvoir appeler l'altention par les particularités suivantes.

Elle n'exige pas d'autre connaissance préalable que celle de la théorie des poutres droites et, pour résoudre les problèmes variés que soulève la question des arcs, elle y ajoute simplement les formules générales (1) et (2), dont les formules suivantes ne sont que des appiications,

Elle permet de calculer simplement les arcs supportant des labliers dont on ne peut, sans dommage négliger la rigidité et c'est le cas des ponts en béton armé en vue desquels a été entreprise cette étude.

Enfin, la méthode en question permet de tenir compte, sans complication, des effets des variations de longueur des arcs et des câbles qui présentent une grande importance dans les ouvrages très surbaissés et qu'on néglige souvent pour ne pas compliquer à l'excès les calculs.

Toutefois, il importe de signaler que M. Bertrand de Fontviolant a indiqué le moyen d'en tenir compte en modifiant les moments conventionnels considérés dans les théorèmes généraux de la statique et que d'autres auteurs ont donné des méthodes qui permettent de tenir compte, sans grande complication, de ces variations de longueur.

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