N 35 DÉFORMATIONS D'UN CERCLE ÉLASTIQUE par M. BONNEAU, Ingénieur des Ponts et Chaussées. M. Mesnager a rendu compte dans les Annales de 1903 d'une série d'expériences qu'il a faites sur des cercles métalliques, ces cercles comprimés suivant un diamètre ont subi des déformations qui ne concordent pas avec celles que fait prévoir la théorie de la flexion; on pouvait se demander si cette discordance ne tenait pas à une imperfection de la théorie dont on dit toujours qu'elle n'est qu'approchée, c'est ce qui nous a conduit à traiter la question par l'élasticité. Le principal résultat de notre étude est comme on le verra plus loin d'avoir établi la concordance presque absolue des deux théories dans le cas qui nous occupe. Nous allons nous servir des coordonnées polaires, les angles sont comptés, à partir de la verticale et dans le sens des aiguilles d'une montre; P, Q, S sont les actions élémentaires en un point en prenant pour directions principales la normale au rayon vecteur et ce rayon vecteur, u, v sont les déplacements linéaires suivant les mêmes directions principales. Dans ces conditions les équations d'équilibre sont Tout cela se voit directement dans un secteur élémentaire qui remplace le rectangle élémentaire employé en coordonnées rectangulaires et on le vérifie en faisant un changement de variables. L'élimination de u et v entre les 3 dernières équations donne De sorte que les 3 équations qui lient P Q S sont Avant d'aborder la solution générale du système (2) nous allons examiner les actions qu'on peut appliquer sur une section droite du cercle élastique et qui a priori doivent se transmettre dans ce cercle sans faire intervenir aucun effort extérieur sur la périphérie. Si nous désignons par F et V les résultantes des actions élémentaires Pet S qui se développent dans une section droite, les deux premières équations (2) intégrées le long de cette section droite. nous donnent : puisque Q et S sont nuls à la périphérie; il en résulte que Si en outre il y a symétrie par rapport au diamètre A et C étant des fonctions inconnues de p Moment fléchissant appliqué aux extrémités d'un arc. Prenons d'abord le cas où l'effort tranchant et l'effort normal sont nuls sur les sections extrêmes, c'est-à-dire le cas où nous appliquons un moment fléchissant X. Fet V sont nuls tout le long de l'arc d'après leur expression précédente et il est probable que P, Q et S sont eux-mêmes indépendants de 0, essayons en effet la solution la 1re équation (2) est vérifiée identiquement, la 2o donne Cette équation différentielle est connue, ses 3 solutions sont de la forme A c où s est une racine de l'équation = 8 (81) (82) + 5s (s1) +380 les constantes A, B et C doivent satisfaire aux équations qui expriment que Q est nul pour pr1 et p = r2, que l'effort normal total est nul et que le moment fléchissant est donné, c'est-à-dire la 3 équation est la conséquence des deux premières, A, sont donc complètement déterminés et par suite P et Q. Bet C |